Transformations du plan complexe

Transformations du plan complexe

Translations

t−→u désigne la translation de vecteur

−→u . Pour tous points M et M′

du plan, t−→u (M) = M′ ⇔

→−−−

MM′ =

−→u .

−→u est un vecteur d’affixe a. L’expression complexe de la translation de vecteur

−→u est

z

′ = z + a.

• t−→u est une isométrie du plan ou encore t−→u conserve les distances.

• t−→u conserve les angles orientés.

• t−→u conserve l’alignement.

• Images de figures :

– Soit (D) une droite passant par un point A. L’image de (D) par t−→u est la droite parallèle à (D) passant par t−→u (A).

– L’image du segment [AB] par t−→u est le segment [t−→u (A)t−→u (B)].

– L’image du cercle de centre I et de rayon R par t−→u est le cercle de centre t−→u (I) et de même rayon.

• t−→u conserve le parallélisme et l’orthogonalité.

• t−→u conserve les aires.

Homothéties

h désigne l’homothétie de centre Ω et de rapport k. Pour tous points M et M′

du plan, h(M) = M′ ⇔

→−−−

ΩM′ = k

→−−

ΩM.

Ω est un point d’affixe ω et k est un réel. L’expression complexe de l’homothétie de centre Ω et de rapport k est

z

′ = ω + k(z − ω).

• h multiplie les distances par |k| et les aires par k

2

.

• h conserve les angles orientés.

• h conserve l’alignement.

• Images de figures :

– Soit (D) une droite passant par un point A. L’image de (D) par h est la droite parallèle à (D) passant par h(A).

– L’image du segment [AB] par h est le segment [h(A)h(B)].

– L’image du cercle de centre I et de rayon R par h est le cercle de centre h(I) et de rayon |k|R.

• h conserve le parallélisme et l’orthogonalité.

Rotations

r désigne la rotation de centre Ω et d’angle θ. On a r(Ω) = Ω et pour tous points M et M′

du plan distincts de Ω,

r(M) = M′ ⇔ ΩM′ = ΩM et



→−−

ΩM,

→−−−

ΩM′



= θ (2π).

Ω est un point d’affixe ω et θ est un réel. L’expression complexe de la rotation de centre Ω et d’angle θ est

z

′ = ω + e

iθ

(z − ω).

r désigne la rotation de centre Ω et d’angle θ.

• r est une isométrie.

• r conserve les angles orientés.

• r conserve l’alignement.

• Images de figures :

– A et B sont deux points. L’image de (AB) par r est la droite (r(A)r(B)).

– L’image du segment [AB] par r est le segment [r(A)r(B)].

– L’image du cercle de centre I et de rayon R par r est le cercle de centre r(I) et de même rayon.

• r conserve les aires.

• r conserve le parallélisme et l’orthogonalité.

Les fonctions exponentielles

Les fonctions exponentielles

Définition et caractérisation de l’exponentielle de base a

Pour x réel et a réel strictement positif, a

x = e

x ln(a)

.

Pour a > 0, la fonction x 7→ a

x

s’appelle la fonction exponentielle de base a.

Pour a > 0 donné, la fonction x 7→ a

x

est l’unique fonction f, définie et dérivable sur R et vérifiant

f(1) = a et pour tous réels x et y, f(x + y) = f(x) × f(y).

Propriétés analytiques

a > 1 = a y

x

1

1

a

a = 1

1 y = 1

x

a < 1

1

1

a

y = a

x

Pour tout réel x et tout réel strictement positif a, a

x > 0.

Si a > 1 Si 0 < a < 1

lim

x→−∞

a

x

= 0 lim

x→−∞

a

x

∞+ =

lim

x→+∞

a

x

= +∞ lim

x→+∞

a

x

= 0

Théorèmes de croissances comparées

Pour tout réel a > 1 et tout entier naturel non nul n, lim

x→+∞

a

x

x

n

.∞+ =

Pour tout réel a > 1 et tout entier naturel non nul n, lim

x→−∞

x

n

a

x

= 0

Propriétés algébriques

a désigne un réel strictement positif. a et b désignent des réels strictement positifs.

a

0 = 1 et a

1 = a.

Pour tous réels x et y, a

x+y = a

x × a

y

Pour tout réel x, (ab)

x = a

x

b

x

.

Pour tout réel x, a

x

6= 0 et a

−x =

1

ax

Pour tout réel x, on a



a

b

x 

=

a

x

bx

.

Pour tous réels x et y, a

x−y =

a

x

ay

.

Pour tout réel x et tout entier relatif n, (a

x

(

n = a

nx

.

Calculs d’intégrales. Primitives

Calculs d’intégrales. Primitives.

Primitives

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie

et dérivable sur I telle que F

′ = f.

Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale

Théorème fondamental

• Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I.

• Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme

x 7→ F(x) + C où C est une constante réelle.

• Si f est continue sur l’intervalle I alors, pour tout réel a de I, la fonction x 7→

Z

x

a

f(t) dt est une primitive de la

fonction f sur l’intervalle I. Ainsi, pour tout réel x de I,

Z

x

a

f(t) dt

 ′

= f(x).

Plus précisément,

la fonction x 7→

Z

x

a

f(t) dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a.

• Si f est continue sur l’intervalle, pour tous réel x0 de l’intervalle I et tout réel y0, il existe une primitive F de f sur I

et une seule telle que F(x0) = y0. La primitive de f qui prend la valeur y0 en x0 est la fonction

x 7→ y0 +

Z

x

x0

f(t) dt.

Expression d’une intégrale à l’aide d’une primitive

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit F une primitive de f sur I. Pour tous réels a et b de I,

b Z

a

f(x) dx = F(b) − F(a).

Notation. Le nombre F(b) − F(a) est noté [F(x)]

b

a

.

Formule d’intégration par parties

Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. On suppose que les fonctions dérivées u

′

et v

′

sont continues sur l’intervalle I. Alors, pour tous réels a et b de I,

b Z

a

u

′

(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]

b

a −

b Z

a

u(x)v

′

(x) dx.

Remarque. Si f est une fonction continue sur I, les notions d’intégrale et de primitive sont directement liées par la

relation

b Z

a

f(x) dx = F(b) − F(a).

Mais il existe des fonctions dont on sait calculer l’intégrale et qui n’admettent pas de primitive. Les fonctions en escaliers

fournissent des exemples de fonctions dont on sait calculer l’intégrale sans pouvoir fournir de primitives.

Raisonnement par récurrence

Raisonnement par récurrence.

P(n) désigne une certaine propriété dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné.

On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0, la propriété P(n) est vraie.

Pour cela, on procède en deux étapes :

Etape 1. On vérifie que P(n0) est vraie,

Etape 2. On se donne un entier n ≥ n0 quelconque.

On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence)

et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est vraie.

Exemple 1. Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 6, 2

n ≥ 6n + 7.

Solution 1.

• Si n = 6, 2

n = 2

6 = 64 et 6n + 7 = 6 × 6 + 7 = 43. Comme 43 < 64, l’inégalité de l’énoncé est vraie quand n = 6.

• Soit n ≥ 6. Supposons que 2

n ≥ 6n + 7 et montrons que 2

n+1 ≥ 6(n + 1) + 7.

2

n+1

= 2.2

n

≥ 2(6n + 7) (par hypothèse de récurrence)

= 12n + 14 = 6(n + 1) + 7 + 6n + 1

≥ 6(n + 1) + 7.

On a montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 6, 2

n ≥ 6n + 7.

Exemple 2. Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 =

1

2

un + 2. Montrer par récurrence

que pour tout entier naturel n, un = 4 −

1

2

n−1

.

Solution 2.

• Si n = 0, 4 −

1

2

n−1

= 4 − 2 = 2 = u0. L’égalité de l’énoncé est vraie quand n = 0.

• Soit n ≥ 0. Supposons que un = 4 −

1

2

n−1

et montrons que un+1 = 4 −

1

2

(n+1)−1

.

un+1 =

1

2

un + 2

=

1

2



4 −

1

2

n−1



+ 2 (par hypothèse de récurrence)

= 2 −

1

2

1

2

n−1

+ 2 = 4 −

1

2

(n+1)−1

.

On a montré par récurrence que, pour tout entier naturel n, un = 4 −

1

2

n−1

.

Exemple 3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2

2n + 2 est un entier divisible par 3.

Solution 3.

• Si n = 0, 2

2n + 2 = 2

0 + 2 = 3 qui est bien divisible par 3. L’affirmation de l’énoncé est vraie quand n = 0.

• Soit n ≥ 0. Supposons que 2

2n + 2 est un entier divisible par 3, et montrons que 2

2(n+1) + 2 est un entier divisible par

3.

On a

2

2(n+1) + 2 = 2

2n+2 + 2 = 4.2

2n + 2 = 3.2

2n + 1.2

2n + 2 = 2

2n + 2 + 3.2

2n

.

Par hypothèse de récurrence, il existe un entier naturel k tel que 2

2n + 2 = 3.k. Mais alors,

2

2(n+1) + 2 = 2

2n + 2 + 3.2

2n = 3k + 3.2

2n = 3(2

2n + k).

Comme 2

2n + k est un entier, on en déduit que 2

2(n+1) + 2 est un entier divisible par 3.

On a montré par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2

2n + 2 est un entier divisible par 3.

Primitives d'une fonction.

Objectifs de ce chapitre

- connaître la définition du mot « primitive »
- connaître la relation qui existe entre deux primitives d'une même fonction
- savoir calculer une primitive à l'aide du tableau des primitives usuelles
- savoir trouver une primitive vérifiant une condition du type 
- savoir calculer une primitive en se ramenant à une forme du type , , etc.
- savoir calculer une primitive à l'aide d'une intégration par parties

Définition

Soit  une fonction définie sur .
On dit que  est une primitive de  sur l'intervalle , si et seulement si  est dérivable sur  et pour tout  de , .

Exemple

La fonction  est une primitive de la fonction  sur .
La fonction  est aussi une primitive de cette même fonction .

Propriété

Si  est une primitive de  sur , alors les autres primitives de  sur  sont les fonctions de la forme  où .

Remarque

Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de  maisune primitive de .

Exemple

Les primitives de la fonction  sont les fonctions  où .

Propriété

Toute fonction continue sur un intervalle  admet des primitives sur .

Propriétés

Primitives des fonctions usuelles :

Fonction	Primitives	Ensemble de validité

Propriétés

Si  et  sont deux fonctions définies sur  et admettant respectivement  et  comme primitives sur  et  un réel quelconque.

•  est une primitive de la fonction  sur .
•  est une primitive de la fonction  sur .

Propriétés

Primitives et fonctions composées

Soit  une fonction définie et dérivable sur un intervalle .

Fonction	Primitives	Condition
		si
		si
		si

Exemple

La fonction  admet comme primitives les fonctions de la forme  sur tout intervalle de  (forme ).