CHUTE VERTICALE D'UN SOLIDE

CHUTE VERTICALE D'UN SOLIDE

Dans cette leçon nous allons appliquer les lois de Newton à l'étude de la chute verticale d'un solide au voisinage de la Terre. Les deux derniers paragraphes sont présentées sous forme d'exercices résolus. Dans un premier temps, nous reviendrons sur la définition du poids d'un objet puis sur la poussée d'Archimède et les forces de frottement fluide.

1- FORCE DE PESANTEUR ET CHAMP DE PESANTEUR TERRESTRE

1-1 Force de pesanteur
En première approximation, on peut dire que le poids d'un objet est égal à la force d'attraction gravitationnelle que la Terre exerce sur lui.
Cette force de pesanteur est représentée par un vecteur  possédant :

· une origine : le centre de gravité G (ou centre d'inertie) du corps
· une direction : la verticale passant par G
· un sens : du haut vers le bas.
· une valeur : P = m g (voir ci-dessous)

Unités :

Le poids P s'exprime en newton (N)
La masse m s'exprime en kilogramme (kg)
L'intensité de la pesanteur g s'exprime en newton par kilogramme (N / kg) ou en m / s²

Remarque : En réalité, le poids n'est pas rigoureusement confondu avec la force de gravitation (voir compléments).
1-2 Champ de pesanteur terrestre
· En un point donné M, au voisinage de la Terre, le poids  d'un objet de masse m peut s'écrire :

= m (1) où  est, par définition, le vecteur champ de pesanteur terrestre au point M considéré.

· Ce vecteur champ de pesanteur terrestre  possède :

· une origine : le point M
· une direction : la verticale passant par M
· un sens : du haut vers le bas
· une valeur : l'intensité g de la pesanteur au point M

· La valeur de l'intensité g de la pesanteur dépend de la latitude du point M où l'on opère ( g = 9,78 N / kg à l'équateur, g = 9,83 N / kg au pôle Nord, au niveau de la mer) et de sonaltitude (diminution d'environ 1 % tous les 30 km).
1-3 Champ de pesanteur uniforme
Dans un domaine restreint au voisinage de la Terre (dimensions de l'ordre de quelques kilomètres), on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme : le vecteur champ de pesanteur  a même direction, même sens et même valeur en tout point de ce domaine restreint (voir l'étude des chutes rectilignes ou paraboliques dans la suite du cours).

2- POUSSEE D'ARCHIMEDE ET FORCE DE FROTTEMENT FLUIDE

La surface d'un solide immergé dans un fluide (liquide, gaz) est constamment "frappée" par les molécules de ce fluide. Ces chocs sont à l'origine de la poussée d'Archimède. De plus, si ce solide se déplace par rapport au fluide, il apparaît des forces de "frottement fluide" sur toute la surface du solide.
2-1 Poussée d'Archimède
La poussée d'Archimède est une force de contact répartie sur la surface de contact solide-fluide. On la représente par un vecteur  qui possède :

· une origine : le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé
· une direction : la verticale passant par C
· un sens : du bas vers le haut
· une valeur : P = r_fluide.V.g égale au poids du fluide déplacé(2)

Unités :

La poussée d'Archimède P s'exprime en newton (N)
La masse volumique du fluide r_fluide s'exprime en kilogramme par mètre cube (kg / m³)
Le volume de fluide déplacé V s'exprime en mètre cube (m³)
L'intensité de la pesanteur g s'exprime en newton par kilogramme (N / kg) ou en (m / s²)

Remarque : Le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé peut être différent du centre d'inertie G du solide. C'est le cas, notamment, si le solide n'est que partiellement immergé dans le fluide ou s'il n'est pas homogène.
Par contre, dans le cas fréquent d'un solide homogène totalement immergé dans le fluide, le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé est confondu avec le centre d'inertie G du solide.
2-2 Force de frottement fluide
· Si un solide se déplace dans un fluide, il apparaît des forces de "frottement fluide" sur toute la surface du solide.
Ces forces de frottement fluide peuvent être résistantes (chute d'une bille ralentie par la présence d'air ou d'eau) ou motrices (feuille emportée par le vent).
· Dans le cas d'un solide homogène animé d'un mouvement de translation dans le fluide, on les modélise par un vecteur  de sens opposé au mouvement si les frottements sont résistants. Comme on étudie le mouvement du centre d'inertie G, on reporte en ce point toutes les forces extérieures agissant sur le solide, notamment  .
· La valeur f de la force de frottement dépend de la la nature du fluide. Elle dépend également de la vitesse V du solide en translation, de sa forme, de son état de surface.
Dans les exercices qui suivront, cette valeur de la force de frottement sera modélisée par une expression de la forme :

f = k.V ⁿ (3)
(par exemple f = k.V (4) pour les vitesses faibles ou f = k.V ² (5) pour des vitesses plus importantes).

On peut aussi être amené à choisir une expression de la forme f = k₁.V + k₂.V ² + ... (6)
C'est l'expression qui donne la meilleure adéquation entre les prévisions théoriques et les résultats expérimentaux qui, bien évidemment, doit être retenue.
· Dans les deux paragraphes qui suivent, nous étudierons le cas d'une chute verticale libre (l'air est absent ou son influence est négligeable) puis le cas d'une chute influencée par la présence d'un fluide (air, eau, etc).

3- CHUTE VERTICALE LIBRE - MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT ACCELERE

3-1 Définition
Un solide est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids.
C'est ce qui se passe si on supprime l'air dans une enceinte pour y étudier la chute d'un solide dans le vide (au voisinage de sol de la Lune, sans atmosphère, toutes les chutes sont libres).
Remarquons que la chute est quasi libre si on étudie, dans l'air, la chute d'une bille de masse volumique grande par rapport à la masse volumique de l'air (la poussée d'Archimède est alors négligeable par rapport au poids) sur une hauteur de quelques mètres (les forces de frottement sont, à faible vitesse, également négligeables par rapport au poids).
3-2 Chute verticale libre, sans vitesse initiale
Nous traiterons ce paragraphe sous forme d'exercice.

ENONCE :
Une petite bille en plomb de masse m est lâchée, sans vitesse initiale, à partir de l'origine d'un axe vertical (O, ) orienté vers le bas. Après un parcours de 2 m, la bille frappe le sol.
a- Pourquoi peut-on considérer qu'il s'agit d'une chute libre ? (corrigé)
b- Etablir l'équation différentielle relative à la vitesse de la bille. (c)
c- Par intégrations successive trouver la vitesse et la position de la bille à chaque instant ? (On prendra l'origine des temps à l'instant du départ de la bille du point O). (c)
d- A quelle date et à quelle vitesse la bille frappera-t-elle le sol ? (c)
On donne l'intensité de la pesanteur terrestre au lieu où est réalisée l'expérience g = 9,80 N / kg).
Remarque : La chute libre avec vitesse initiale verticale sera étudiée dans le problème résolu 12-A.

SOLUTION :
a- (énoncé) Expliquons pourquoi on peut considérer que la chute est libre.
D'une part, la bille étant en plomb, son poids P est très grand par rapport à la poussée d'Archimède P dans l'air. On peut donc négliger la poussée d'Archimède.
D'autre part, la bille est petite, de forme sphérique, sa vitesse restera faible (hauteur de chute petite). Dans ces conditions, la force de frottement fluide exercée par l'air sur la surface de la bille est également négligeable par rapport au poids.
La seule force agissant sur la bille est donc le poids . La chute est dite libre.
b- (e) Etablissons l'équation différentielle relative à la vitesse de la bille.
Référentiel Galiléen : le solide Terre. On lui associe le repère ( O, ).
Système étudié : la bille
Une seule force extérieure s'exerce sur la bille :
Le poids  = m , (7)essentiellement dû à l'action gravitationnelle de la Terre sur la bille.

· Appliquons la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 11) :
Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération  de son centre d'inertie.
Ici, cette loi s'écrit :

= m  (8)
(on confond la masse gravitationnelle et la masse inertielle)
=  (9)
= 
a_z  = g_z  (9 bis)
a_z = g_z (10). Ici g_z = g (11) (avec g = 9,80 N / kg). De plus, on sait que (12). Portons dans (10) :
= g (13)

C'est l'équation différentielle relative à la vitesse de la bille.
Nous allons chercher la fonction V_z (t) qui est solution de cette équation différentielle du premier ordre.
c- (e) Déterminons la vitesse et la position de la bille à chaque instant t.
· Recherchons la primitive de = g (13) :
La fonction V_z qui admet g comme dérivée est :

V_z = g t + C₁ (14)

La constante C₁ est la valeur prise par la vitesse V à la date 0. L'énoncé donne C₁ = V(o) = 0 m / s.

V_z = g t (15) soit :
= g t (16)

· Recherchons maintenant la primitive de = g t (16) :
.La fonction z qui admet g t comme dérivée est :

z =  g t ² + C₂ (17)

La constante C₂ est la valeur prise par z à la date 0. L'énoncé donne C₂ = z (o) = 0 m.

z =  g t ² (18)

Les équations horaires du mouvement sont donc :

z =  g t 2 (18) Vz = g t (15) az = g (10)

On dit que la bille est animée d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré (le vecteur accélération ne change pas).
d- (e) Cherchons à quelle date et avec quelle vitesse la bille frappe le sol.
· La bille frappe le sol au point S tel que z_S = + 2 m.
Portons dans z =  g t ² (18) avec z_S = 2 m (19) et g = 9,80 N / kg (20) :

2 =  ´ 9,80 ´ t_S²
t_S² = 4 / 9,80 = 0,4082

Seule la racine positive convient :

t_S = 0,639 s (21)

· Utilisons V_z = g t (15) avec t_S = 0,639 s :

V_S = 9,80 ´ 0,639 = 6,26 m / s (22)

· Résumons :

zS = 2 m (19) tS = 0,639 s (21) VS = 6,26 m / s (22) a = 9,80 m.s - 2 (23)

4- CHUTE VERTICALE D'UNE BILLE SOUMISE A UNE FORCE DE FROTTEMENT FLUIDE

Rappelons que la valeur f de la force de frottement dépend de la la nature du fluide. Elle dépend également de la vitesse V du solide en translation, de sa forme, de son état de surface. Nous traiterons un exemple sous forme d'exercice.

ENONCE :
Une bille en verre (masse volumique m, rayon r) est lâchée, sans vitesse initiale, à la surface d'un tube vertical contenant de l'huile de ricin (masse volumique mo).
a- Exprimer, en fonction de l'intensité de la pesanteur terrestre g, du rayon r de la bille et des masses volumiques m et mo, le poids P et la poussée d'Archimède P exercée par le liquide sur la bille. (corrigé)
b- Etablir l'équation différentielle du mouvement de la bille sachant que, dans le domaine de vitesse étudié, la force de frottement fluide peut s'écrire sous la forme :

= - 6 p h r  (24) (relation de Stokes, valable lorsque la vitesse reste faible)
· h est le coefficient de viscosité du liquide
·  est le vecteur vitesse de la bille en translation rectiligne
· r est le rayon de la bille (c)

c- Déterminer, en fonction g, m et mo, l'accélération initiale de la bille. (c)
d- Déterminer, en fonction g, m, mo, r et h, la vitesse limite de la bille. (c)
e- Calculer numériquement le coefficient de viscosité h de l'huile de ricin sachant que la vitesse limite de la bille est V_lim = 0,71 mm / s. (c)
On donne :

r = 1 mm m = 2600 kg / m³  mo = 970 kg / m³  g = 9,81 N / kg

Remarque : Dans le problème résolu 12-B nous verrons que l'équation différentielle du mouvement peut être résolue de façon approchée par la méthode graphique d'Euler. Nous verrons également que si, comme c'est le cas dans cet exercice, la force de frottement fluide obéit à la formule de Stokes (force f proportionnelle à V), alors on peut également donner la solution analytique v = f (t)

SOLUTION :
a- (énoncé) Exprimons, en fonction de l'intensité de la pesanteur terrestre g, du rayon r de la bille et des masses volumiques m et mo, le poids P et la poussée d'Archimède P.
- Le volume de la bille est :

v =  p r³ (25)

Sa masse est :

m = v m (26)
m =  p r³ m (27)

Son poids s'exprime sous la forme :

P = m g =  p r3 m g (28)

- La poussée d'Archimède P exercée par le liquide sur la bille est égale au poids du liquide déplacé par la bille :

P = v mo g (29)

P = v mo g =  p r3 mo g (30)

b- (e) Etablissons l'équation différentielle du mouvement de la bille sachant que, dans le domaine de vitesse étudié, la force de frottement fluide peut s'écrire sous la forme :

= - 6 p h r  (31)  (relation de Stokes, valable lorsque la vitesse reste faible)

Référentiel Galiléen : le solide Terre. On lui associe le repère ( O,  ).
Système étudié : la bille
Forces extérieures s'exerçant sur la bille :

· Le poids  , essentiellement dû à l'action gravitationnelle de la Terre sur la bille
· La poussée d'Archimède  exercée par le liquide sur la bille
· La force de frottement fluide  = - 6 p h r  = - 6 p h r V (32) également exercée par le liquide sur la bille (V>0).

Appliquons la deuxième loi de Newton (revoir la leçon 11) :
Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération  de son centre d'inertie :

(33)

Ici, ce théorème s'écrit :

+  + = m  (34)

Utilisons les expressions :

· =  p r³ m g (28 bis)
· = -  p r³ m o g  (30 bis) (g >0)
· = - 6 p h r V  (32) (V varie mais reste > 0)

Il vient, avec  = m   (35) :

p r³ m g  -  p r³ mo g  - 6 p h r V  = m   (36)

Soit :

p r³ (m - mo) g - 6 p h r V = m  (37)

Introduisons m = p r³ m :

p r³ (m - mo) g - 6 p h r V = p r³ m  (37 bis)
(m - mo) g / m - (9 /2) h / r² m V =  (37 ter)

Soit, en plaçant le terme constant dans le second membre :

+ 9 h / (2 r² m ) V = g (1 - mo / m)  (38)

+  = C (39) avec t = 2 m r 2 / 9 h (40) et C = g (1 - mo / m) (41)

Unités internationales : les trois termes de l'équation (39) doivent avoir la même unité (m / s²).

t et dt en (s) - V et dV en (m / s) - t en (s) - C en (m/ s²)

Remarque : t est souvent appelée contante de temps associée au montage.
c- (e) Déterminons, en fonction g, m et mo, l'accélération initiale de la bille.
A l'instant du départ t = 0 s, l'énoncé dit que la vitesse est nulle.
Portons dans l'équation différentielle +  = C (39). On obtient :

()o = ao = C = g (1 - mo / m) (42)

d- (e) Déterminons, en fonction g, m, mo, r et h, la vitesse limite V_lim de la bille.
Initialement nulle, la force de frottement f augmente proportionnellement à la vitesse. Le moment vient où la force motrice  motrice est compensée par la somme des deux forces résistantes  + _lim . La somme des forces est alors nulle et, d'après la deuxième loi de Newton :

+  + lim = m lim (43)
lim =  (44) l'accélération limite lim est nulle.

La relation +  = C (39) donne alors, avec () _im = 0 m / s² :

V_lim = t ´ C = (2 m r ² / 9 h ) ´ g (1 - mo / m)

Vlim = 2 g r 2 (m - mo) / 9 h (45)

e- (e) Calculons numériquement le coefficient de viscosité h de l'huile de ricin sachant que la vitesse limite de la bille est V_lim = 0,71 mm / s.
L'énoncé donne :

r = 10 ^{- 3} m  m = 2600 kg / m³  mo = 970 kg / m³  g = 9,81 N / kg V_lim = 0,71 mm / s = 7,1 ´ 10 ^{- 4} m / s

La relation V_lim = 2 g r ² (m - mo) / 9 h (45) peut aussi s'écrire :

h = 2 g r 2 (m - mo) / 9 Vlim  (45 bis)

h = 2 ´ 9,81 ´ 10 ^{- 6} ´ (2600 - 970) / (9 ´ 7,1 ´ 10 ^{- 4})
h = 19,62 ´ 10 ^{- 6} ´ 1630 / (63,9 ´ 10 ^{- 4})

h = 5,00 SI = 5,00 N.s / m² = 5,00 Pa.s (46)

Remarque : Dans le problème résolu 12-B nous verrons que l'équation différentielle du mouvement peut être résolue de façon approchée par la méthode graphique d'Euler. Nous verrons également que si, comme c'est le cas dans cet exercice, la force de frottement fluide obéit à la formule de Stokes (force f proportionnelle à V), alors on peut également donner la solution analytique v = f' (t).