Equations Et Inéquations Du Second Degré

Equations Et Inéquations Du Second Degré.

I. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ :

1. Definition et vocabulaire :

Une équation du second degre, à une inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax²+bx+c=0, où a,b,c sont trois réels donnés avec a  0 Résoudre l’équation ax²+bx+c = 0, c’est trouver tous les nombres p tels que ap²+bp+c=0. Un tel nombre p est dit solution ou encore racine de l’équation.

2. Résolution de l’éuation du second degré :

Posons f(x) = ax²+bx+c avec a  0.
 

2.1. Ecriture de f(x) sous forme canonique :

Puisque a 0,

donc

Cette derniere ecriture est appelée forme canonique de f.
 

2.2. Resolution de l’équation ax²+bx+c=0 :

On pose 
Ainsi

 

1er cas :

Le nombe entre crochets est strictement positif donc l’équation f(x)=0 n’a pas de solution.
 

2ème cas :

Si  =0 alors
 .
Puisque a 0, l’equation f(x)=0 a une solution et une seule :

 

3eme cas :

Si  >0 alors  et :

Si l’on pose :

Alors 
Donc puisqua a 0, l’equation f(x)=0 a deux solutions distinctes .
 

Definition 1 :

Le nombre b²-4ac est appelé discriminant de l’équation du second degré ax²+bx+c=0 ou du trinôme ax²+bx+c. On le note  ( lire « delta »).

Théoreme 1 :

a. Lorsque <0, l’équation n’a pas de solution dans . b. Lorsque  =0, l’équation a une racine double :  c. Lorsque >0, l’équation a deux solutions :  .

II. FACTORISATION ET SIGNE DU TRINÔME :

1. Factorisation du trinôme :

Nous avons vu, au cours de la demonstration du theoreme 1 que si
 >0 alors 
 

Theoreme 2 : factorisation du trinome.

Lorsque l’équation f(x)=ax²+bx+c=0 a deux solutions  ( dans le cas  >0) alors, pour tout réel x,

2. signe du trinôme :

Theoreme 3 :

Lorsque <0, f(x) est toujours du signe de a. Lorsque =0, f(x) est du signe de a Lorsque  >0, f(x) est du signe de a, sauf lorsque x est entre les racines, auquel cas f(x) et a sont de signes contraires.

Application :

pour résoudre une inéquation du second degré, on determine le signe du trinôme associé.
 

III. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES DES FONCTIONS TRINOMES :

La courbe de la fonction f : x  ax²+bx+c est une parabole.
Cette parabole est tournée vers le haut lorsque a>0 et tournée vers le bas lorsque a>0.
 

Synthèse :

 

Exemples :

Résoudre x²+3x+3>0
Solution :
 = - 3 puisque <0, le trinome n’a pas de racine dans .
De plus a=1 donc a>0 ainsi x²+3x+3>0 pour tout x réel et S=.

Résoudre –x²+3x-2  0  =1, l’équation –x²+3x-2=0 a deux racines  = 1 et  = 2 .
a=-1 donc a<0 ainsi l’ensemble solution est l’intervalle [1 ;2].