Généralités Sur Les Fonctions Numériques

Généralités Sur Les Fonctions Numériques.

I. OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES SUR LES FONCTIONS :

1. Egalité :

Définition :

Dire que deux fonctions f et g sont égales, ce que l’on note alors f = g, signifie qu’elles ont le même ensemble de définition D et que, pour tout x de D, f(x) = g(x).

2. Opérations :

Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg.
 

Opérations :

Opération	Notation	Definition	Definie pour :
Somme	f+g	xf(x)+g(x)
Différence	f-g	x f(x)-g(x)
Produit	fg	x f(x)g(x)
quotient		x

3. Composition de fonctions :

Définition :

Etant donné deux fonction f et g, la fonction gof (lire « g rond f ») est la fonction definie par



L’ensemble de définition de gof est constitué de tous les nombres x tels que x soit dans Df et f(x) soit dans Dg.

Exemple :

f est la fonction definie sur R par f(x)=x-2 et g est la fonction carrée.
Dans g(x), on remplace x par f(x).
Alors g(f(x))= (x-2)²
Donc gof est la fonction x  (x-2)² définie sur R.
 

II. SENS DE VARIATION:

1. Sens de variation d’une somme de fonction :

théorème 1 :

• La somme de deux fonctions strictement croissantes sur un intervalle I est une fonction strictement croissante sur I.

• La somme de deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle I est une fonction strictement décroissante sur I.

2. Sens de variation de ku :

Définition :

Soit u une fonction definie sur un intervalle I et k un nombre réel.
ku est la fonction x ku(x).

Exemple :

si u(x)=x²+3, la fonction 5u (ici k=5) est x 5(x²+3) ainsi (5u)(x)=5x²+15.
 

Théorème 2 :

• Si k>0, u et ku ont le même sens de variation sur I.

• Si k<0, u et ku varient en sens contraires sur I.

3. Sens de variation d’une composée de fonctions :

Théorème 3 :

Soient f et g deux fonctions strictement monotones, I est un intervalle inclus dans Df,
J un intervalle inclus dans Dg telque pour tout x dans I, f(x) soit dans J.

• Lorsque f et g ont même sens de variation, alors gof est strictement croissante sur I.

• Lorsque f et g ont des sens de variation différents, alors gof est strictement décroissante sur I.