Evénements et probabilités.

Rappels de définitions

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
Chacun des résultats possibles s'appelle une éventualité (ou une issue)
L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience.
On définit une loi de probabilité sur en associant, à chaque éventualité , un réel compris entre 0 et 1 tel que la somme de tous les soit égale à 1.
Un évènement est un sous-ensemble de

Exemples

Le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire d'univers comportant 6 éventualités:
Omega = {1;2;3;4;5;6}

L'ensemble $E_1={2;4;6}$ est un évènement. En français, cet évènement peut se traduire par la phrase : «le résultat du dé est un nombre pair»
L'ensemble $E_2={1;2;3}$ est un autre évènement. Ce second évènement peut se traduire par la phrase : «le résultat du dé est strictement inférieur à 4»

Ces évènements peuvent être réprésentés par un diagramme de Venn :

Diagramme de Venn

Définition

l'événement contraire de noté est l'ensemble des éventualités de qui n'appartiennent pas à .
l'événement (lire « A union B » ou « A ou B » est constitué des éventualités qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.
l'événement (lire « A inter B » ou « A et B » est constitué des éventualités qui appartiennent à la fois à A et à B.

Exemple

On reprend l'exemple précédent :
$E_1={2;4;6}$
$E_2={1;2;3}$

$barE_1={1; 3; 5}$ . Cet événement peut se traduire par « le résultat est un nombre impair »

Complémentaire de E1
$E_1 union E_2={1;2;3;4;6}$ . cet événement peut se traduire par « le résultat est pair oustrictement inférieur à 4 ».

Réunion de E1 et E2
$E_1 inter E_2={2}$ . Cet événement peut se traduire par « le résultat est pair et strictement inférieur à 4 ».

Intersection de E1 et E2

Définition

On dit que A et B sont incompatibles si et seulement si A inter B={}

Remarque

Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires.

Exemple

« Obtenir un chiffre inférieur à 2 » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » sont deux événements incompatibles.

Propriétés

Si A et B sont incompatibles, la dernière égalité devient :

Définition

Soit A et B deux événements tels que p(A)!=0

, la probabilité de B sachant A est le nombre :
p_A(B)=(p(A inter B))/(p(A))

On peut aussi noter cette probabilité $p(B \slash A)$ .

Exemple

On reprend l'exemple précédent.
La probabilité d'obtenir un chiffre pair sachant que le chiffre obtenu est strictement inférieur à 4 est (en cas d'équiprobabilité) :
p_(E_2) (E_1)=(p(E_1 inter E_2))/(p(E_2))=1/3