LE DISPOSITIF SOLIDE-RESSORT

LE DISPOSITIF SOLIDE-RESSORT

1- FORCE DE RAPPEL EXERCEE PAR UN RESSORT

· Un ressort agit sur les objets fixés à ses extrémités de façon à essayer de reprendre sa longueur à vide Lo.
En général une des extrémités du ressort est fixée à un objet immobile dans le référentiel terrestre alors que l'autre extrémité est reliée à un solide susceptible de se déplacer.
Un ressort relié à un solide susceptible de se déplacer exerce sur celui-ci une force de rappel  dont la norme F est proportionnelle à son allongement L – L₀ :

F = K ½L – L0½  (1)

· F désigne la norme  du vecteur force : F =  (en newton).  F est positive.
· K est le coefficient de raideur du ressort : On l'exprime en N / m.  K est positif.
· L₀ est la longueur du ressort à vide (en mètre)
· L est la longueur du ressort (en mètre) lorsqu'il exerce la force  sur le solide en contact.

Remarque : Si le ressort est vertical (voir ci-dessous) les normes des forces qu'il exerce sur les deux solides (S et crochet fixé au plafond) auxquels il est relié ne sont égales que si la masse du ressort est négligeable.
· Exemples de forces de rappel exercées par un ressort
Un ressort agit sur les objets fixés à ses extrémités de façon à essayer de reprendre sa longueur à vide Lo.

On a représenté les forces agissant sur le solide S, notamment la force  représentant l'action du ressort sur le solide. Cette force  change de sens selon que le ressort est dilaté (longueur L > Lo, longueur à vide) ou compressé (L < Lo sur la figure de gauche).
On pourrait aussi représenter l'action du ressort sur l'objet relié à son autre extrémité, fixe dans le repère terrestre.
En général le ressort a une masse négligeable par rapport à la masse m du solide S (m = P/ g).

2- PENDULE ELASTIQUE LIBRE NON AMORTI

Un oscillateur élastique est constitué d'un ressort fixé à l'une de ses extrémités, l'autre de extrémité est reliée à un solide. En l'absence de frottement solide-solide, ou solide-fluide, on dit que ce pendule élastique est non amorti. Etudions les oscillations horizontales du solide de masse m lorsque, après l'avoir écarté de sa position de repos, on l'abandonne à lui-même. On suppose que le ressort de coefficient de raideur K a une masse négligeable.

· Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Repère orthonormé associé à ce référentiel : O, .

· Système étudié : le solide de masse m.
· Le solide est soumis à 3 forces :

: essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le solide (poids du solide).
: action normale de la piste sur le solide. Ici, on néglige les frottements.
: action du ressort sur le solide.

Remarque : La force exercée par le ressort sur le mobile peut s'écrire  = K  = - K   (4)
Les coordonnées de  dans la base  sont :

Fx = - K x  (5) Fy = 0  (6)

· Appliquons la deuxième loi de Newton (Théorème du centre d'inertie) (revoir la leçon 11) :
Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(7)

Ici, ce théorème s'écrit :

+  +  = m   (8)

· Projetons sur le vecteur unitaire  :

0 + 0 - K x = m 
m  + K x = 0  (9)

(10)

L'équation (10) est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.
· Montrons que l'expression suivante  (11), dans laquelle To représente la période propre du pendule élastique, est solution de l'équation différentielle du mouvement (10).
- Calculons la vitesse :

(12)

- Calculons l'accélération :

(13)

- Formons 

(14)

- Cette expression (14) est bien identique à  = 0 (10) à condition d'avoir :

soit :
(15)

· Conclusion du paragraphe :
La solution de l'équation différentielle du mouvement  = 0 (10) est :

(11)

La période propre est :

(15)

La fréquence propre des oscillations est fo = 1 / To.
Conclusion : Les oscillations libres d'un pendule élastique non amorti sont donc sinusoïdales.

3- ENERGIE POTENTIELLE ELASTIQUE DU RESSORT. ENERGIE MECANIQUE DE L'OSCILLATEUR

· On montre (voir la leçon 19) que l’énergie potentielle élastique du ressort est :

EP =  K (OM)2 (16)

· L’énergie mécanique du système masse-ressort est :

Em = EC + EP =  m V2 +  K x2 (17)

· L’énergie mécanique du système masse-ressort se conserve en l’absence de frottement.
Remarque : On peut retrouver l’équation différentielle du mouvement  = 0  (10)  en écrivant que l’énergie mécanique du système masse-ressort est constante. Pour cela on écrit que d Em / dt = 0. Il est conseillé de le faire.

4- OSCILLATEUR LIBRE AMORTI PAR FROTTEMENT VISQUEUX

· En présence de frottement solide-solide, ou solide-fluide, on dit que le pendule élastique est amorti.
Dans le cas de frottement d'un fluide avec le solide (frottement visqueux), la force de frottement  est proportionnelle à la vitesse (si celle-ci reste relativement faible). On écrit :

= - l avec l > 0 (19)

· Plaçons le dispositif solide-ressort dans un liquide.
La force de frottement , opposée au vecteur vitesse, est résistante.

· Le solide est alors soumis à 5 forces (sur le schéma  représente deux forces verticales) :

: essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le solide (poids du solide).
: somme de la poussée d'Archimède et de l'action normale du support sur le solide.
: action du ressort sur le solide (force de rappel).
: force de frottement exercée par l'eau sur le solide

· La deuxième loi de Newton (voir ci-dessus) s'écrit :

+++ = m  (20)
+- K - l  = m  (21)

Projetons sur un axe horizontal (voir le schéma) :

0 + 0 - K x - l  = m 
m + l  + K x = 0 (22)

· La solution mathématique de cette équation est hors programme. Donnons graphiquement les résultats à retenir :

En présence de frottement modéré (pendule placé dans un liquide peu visqueux comme l'eau) l’amplitude des oscillations diminue progressivement (régime pseudo périodique).
Si les frottements sont très importants (liquide très visqueux), le pendule, écarté de sa position d'équilibre puis abandonné à lui-même, revient vers cette position d'équilibre sans osciller (régime apériodique).
Remarques :
· En présence de frottement, l'énergie mécanique du système solide-ressort ne se conserve plus. Elle diminue et se transforme en chaleur dissipée vers le milieu extérieur.
· Le problème 19 A revient sur l'étude du pendule élastique amorti.
· Oscillations entretenues : Malgré les frottements on peut maintenir une amplitude constante à condition de prévoir un dispositif d'entretien des oscillations. Ce dispositif doit fournir au pendule une énergie permettant de compenser l'énergie dissipée par les forces de frottement. Cet apport d'énergie doit se faire à la fréquence où se produiraient les oscillations si le pendule n'était ni amorti, ni entretenu. Cette fréquence est la fréquence propre du pendule élastique.

5- OSCILLATIONS FORCEES D'UN PENDULE ELASTIQUE.

 5-1 Définition
Un oscillateur, de fréquence propre f_o = 1 / T_o, subit des oscillations forcées s'il oscille à une fréquence f imposée par un appareil extérieur appelée excitateur.
5-2 Etude expérimentale
· Le résonateur étudié est le pendule élastique représenté sur le schéma ci-dessous.
· Grâce à un moteur, on applique au pendule élastique, amorti par frottement solide-liquide, une force motrice extérieure, de période T pouvant être différente de la période propre  de l'oscillateur.

L'excitateur (moteur), de fréquence réglable, impose sa fréquence f au résonateur. Il agit, par l'intermédiaire d'une poulie et d'un fil sur l'extrémité haute du ressort.
- Changeons la fréquence f de l'excitateur et mesurons l'amplitude des oscillations du résonateur.
L'amplitude du résonateur passe par un maximum pour une fréquence particulière f_r imposée par l'excitateur (fréquence de résonance).
Cette fréquence de résonance f_r est proche de la fréquence propre f_o du résonateur si l'amortissement est faible.
La courbe donnant les variations de l'amplitude des oscillations du résonateur en fonction de la fréquence qui lui est imposée par l'excitateur s'appelle courbe de résonance.
Influence de l'amortissement : Si l'amortissement augmente (en plaçant le solide du résonateur dans des liquides de plus en plus visqueux) la fréquence de résonance diminue et la résonance devient plus floue. Il n'y aurait plus de résonance si l'amortissement devenait très important.

 

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