PENDULE PESANT - PENDULE SIMPLE

PENDULE PESANT - PENDULE SIMPLE

1- LES SYSTEMES OSCILLANTS MECANIQUES

1-1 Oscillateur mécanique
Un oscillateur mécanique est un système animé d'un mouvement de va et vient, en général autour d'une position d'équilibre stable.
C'est par exemple le cas d'une balançoire, du balancier d'une horloge, de la membrane d'un haut parleur, etc.

1-2 Pendule pesant- Cas particulier du pendule simple
·Un pendule pesant est un solide qui oscille autour d'un axe horizontal ne passant pas par son centre d'inertie.
·Un pendule simple est constitué d’un solide de petite dimensions, de masse m, suspendu à un point fixe O par un fil inextensible de longueur L, de masse négligeable. Ecarté de sa position d’équilibre, il oscille dans le champ de pesanteur terrestre g. (voir le schéma)

2- ETUDE DES OSCILLATIONS LIBRES NON AMORTIES DU PENDULE SIMPLE

Considérons un pendule simple constitué d’une petite bille de masse m, suspendue à un fil de longueur L.
Etudions d'abord les oscillations libres non amorties de ce pendule.

2-1 Oscillations libres non amorties
Les oscillations sont dites libres car le pendule, écarté de sa position d'équilibre (il reçoit alors de l'énergie potentielle), est abandonné à lui même. Elles sont non amorties lorsqu'on peut négliger les frottements.

Référentiel Galiléen : le solide Terre
Système étudié : la bille
Deux forces appliquées : 

·Le poids  (essentiellement action gravitationnelle de la terre sur la bille)
·La force  (action du fil sur la bille)

Appliquons la deuxième loi de Newton (théorème du centre d'inertie) :
Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

(1)

Ici, on écrit :

+  = m  (2)

L'étude détaillée de cette équation n'est pas au programme. Remarquons simplement que seul le vecteur  est constant. Le vecteur  et le vecteur accélération  varient durant le mouvement.
Position d'équilibre : A l'équilibre :

+  =  (3)

Le vecteur  est toujours vertical et dirigé vers le bas. Par conséquent, à l'équilibre, le vecteur  = -  doit être vertical et dirigé vers le haut. La position d'équilibre du pendule est donc la position verticale OC.
Oscillation : Une oscillation correspond au trajet effectué par le solide entre deux passages consécutifs par la même position, dans le même sens.
Ecart à l'équilibre (abscisse angulaire q) : A tout instant t, la position du pendule peut être repérée par l'abscisse angulaire q égale à l'angle formé par la verticale OC (correspondant au repos du pendule) et la position OM du fil à l'instant t. On a adopté comme sens positif le sens trigonométrique.
Amplitude q_m : L'amplitude des oscillations est la valeur maximale q_m de l'abscisse angulaire q.
Période propre To : La période propre To des oscillations non amorties du pendule est la durée séparant deux passages consécutifs par la même position, dans le même sens.

2-2 EXERCICE : Période propre des petites oscillations libres, non amorties, d'un pendule simple

Enoncé :
Les oscillations libres, non amorties, de faible amplitude sont quasi sinusoïdales. A priori, la période propre To peut dépendre de la longueur L du fil, de la masse m de la bille et de l'intensité de la pesanteur g. Déterminer, à une constante près, l’expression de cette période To. (corrigé)

Solution :
(énoncé) D’après l’énoncé ou peut poser To = k L^a M^b g^g (k étant une constante sans unité). (4)
Cette relation doit être homogène pour les unités : seconde s, mètre m, kilogramme kg. On doit donc avoir :

[ s ] = [ m ]^a [ kg ]^b [ N / kg ]^g (5)

Mais, d’après la relation F = M.a, le Newton N est équivalent à kg . m / s².

[ s ] = [ m ]^a [ kg ]^b [ kg . m / s² kg ]^g (6)
[ s ] = [ m ]^{a + g} [ kg ]^b [ s ] ^{- 2g} (7)

On en déduit :

1 = - 2 g (8)
0 = a + g (9)
0 = b (10)

Ce qui donne : g = - 1/2 (11),a = 1/2 (12),b = 0 (13)
Reportons dans (4) :

To = k L^a M^b g^g = k L^1/2 M⁰ g ^{- 1/2} = k L^1/2 g ^{- 1/2} (14)

De plus, l’expérience et la théorie montrent que k = 2 p pour les petites oscillations (amplitude inférieure à quelques degrés).
Finalement la période propre des petites oscillations du pendule simple est :

(15)

On remarque que la période propre des petites oscillations du pendule simple est indépendante de sa masse.
2-3 Isochronisme des petites oscillations du pendule simple non amorti
Si la période propre To est indépendante de l'amplitude angulaire q_m, alors il y a isochronisme des oscillations.
C'est le cas si cette amplitude angulaire q_m est inférieure à quelques degrés.

3- ETUDE DES OSCILLATIONS LIBRES MAIS AMORTIES DU PENDULE SIMPLE

3-1 Amortissement
En réalité, existent toujours des forces de frottement qui dissipent de la chaleur vers le milieu extérieur et font diminuer l'énergie du pendule placé dans le champ de pesanteur terrestre. Cela se traduit par une diminution de l'amplitude des oscillations.
Cette diminution de l'amplitude existe déjà dans l'air mais devient très visible si le pendule oscille dans de l'eau ou mieux dans de l'huile très visqueuse.
· Dans le premier cas (amortissement faible dans l'eau) le régime est dit pseudo-périodique.

La pseudo-période T des oscillations amorties du pendule est la durée séparant deux passages successifs de l'oscillateur par deux positions ou l'abscisse angulaire est maximale. Si l'amortissement est faible T est voisin de la période propre To.
· Dans le deuxième cas (amortissement important dans de l'huile très visqueuse), la bille, écartée de sa position d'équilibre puis lâchée, revient vers cette position d'équilibre sans la dépasser. On dit que le régime est apériodique.

· Rappel des 3 cas d'oscillations libres d'un pendule simple.

3-2 Entretien des oscillations d'un pendule amorti
Pour entretenir des oscillations d'amplitude constante malgré les forces de frottement il faut restituer à l'oscillateur l'énergie qu'il perd.
Dans le cas d'une horloge à balancier, une roue dentée relance le pendule à chaque demi-oscillation. La roue dentée tourne grâce à la descente d'une masse qu'il faut périodiquement remonter. La réserve d'énergie dans laquelle puise le pendule est donc constituée par l'énergie potentielle de cette masse dans le champ de pesanteur terrestre. Les frottements dissipent l'énergie du pendule sous forme de chaleur mais cette perte est compensée par l'apport d'énergie fournie par la réserve.
L'amplitude des oscillations reste alors constante.

4- OSCILLATIONS FORCEES D’UN PENDULE SIMPLE AMORTI

4-1 Définition
Un oscillateur, de fréquence propre f_o = 1 / T_o, subit des oscillations forcées s'il oscille à une fréquence f imposée par un oscillateur extérieur appelée excitateur.

4-2 Etude expérimentale
· L'oscillateur étudié est le résonateur en rouge sur le schéma ci-dessous.

L'excitateur magnétique, de très basse fréquence f réglable, impose sa fréquence f au résonateur. Il agit, par l'intermédiaire d'une force magnétique créée à chaque impulsion, sur l'arc rouge, en fer doux, du résonateur.
· Changeons la fréquence f de l'excitateur et mesurons l'amplitude des oscillations du résonateur.
L'amplitude du résonateur passe par un maximum pour une fréquence particulière f_r imposée par l'excitateur (fréquence de résonance).
Cette fréquence de résonance f_r est proche de la fréquence propre f_o du résonateur si l'amortissement est faible.
La courbe donnant les variations de l'amplitude des oscillations du résonateur en fonction de la fréquence qui lui est imposée par l'excitateur s'appelle courbe de résonance.
Influence de l'amortissement : Si l'amortissement augmente (en plaçant le disque du résonateur dans l'eau) la fréquence de résonance diminue et la résonance devient plus floue. Il n'y aurait plus de résonance si l'amortissement devenait très important.