SATELLITES ET PLANETES

SATELLITES ET PLANETES

Depuis la plus haute Antiquité les hommes ont cherché à décrire et à comprendre le mouvement des objets célestes.
Pendant tout le Moyen Age, appliquant le système du savant grec Ptolémée Claude (2° siècle), on pense que la Terre est le centre du monde et que les astres tournent autour d'elle.
Copernic Nicolas, savant Polonais, montre que la Terre, comme les autres planètes, tourne sur elle même et autour du Soleil (Traité sur les révolutions du monde céleste, 1543).
Képler Johannes, savant allemand, exploite les mesures de son maître danois Tycho Brahé et énonce les trois lois qui régissent le mouvement des planètes autour du Soleil (La nouvelle astronomie, 1609).
C'est le savant anglais Isaac Newton (Sir) qui énonce la loi de gravitation universelle, permettant d'expliquer de nombreux mouvements célestes (Principes mathématiques de philosophie naturelle, 1686).
Certains phénomènes seront expliqués par la mécanique relativiste d'Einstein au 20° siècle.
La connaissance de l'Univers physique occupe, encore de nos jours, de nombreux chercheurs.

1- LES TROIS LOIS DE KEPLER

Ces trois lois sont valables dans le référentiel héliocentrique, considéré comme étant Galiléen.
1-1 Première loi de Képler
· Dans le référentiel héliocentrique, le centre de chaque planète décrit une trajectoire elliptique dont le Soleil S est l'un des foyers.
· Rappel : Une ellipse est formée par l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes ( les foyers F et F ' ) est constante :

MF + MF ' = 2 a (1)

· Remarque : un cercle peut être considéré comme une ellipse dont les deux foyers sont confondus.
1-2 Deuxième loi de Képler
· Dans le référentiel héliocentrique, le segment de droite qui relie les centres du Soleil S et de la planète M "balaie" des aires égales pendant des durées égales.

· Remarque : La vitesse la plus grande de la planète est en A, point le plus rapproché du Soleil (périhélie). La vitesse la plus faible est en A', point le plus éloigné du Soleil.
1-3 Troisième loi de Képler
· Dans le référentiel héliocentrique, le rapport entre le carré de la période de révolution T de chaque planète et le cube du demi-grand axe de l'orbite elliptique est constant :

T² / a³ = Cte (2)

· La valeur de la constante ne dépend que de la masse du Soleil.
1-4 Remarque
Les trois lois de Képler sont également valables pour les satellites de la Terre dans le référentiel géocentrique. La constante figurant dans T² / a³ = Cte ne dépend alors que de la masse de la Terre (voir ci-dessous).
Dans la suite de la leçon, après avoir rappelé la loi de la gravitation universelle, nous limiterons notre étude aux satellites en orbites circulaires.

2- LA LOI DE GRAVITATION UNIVERSELLE SOUS SA FORME VECTORIELLE.

· Deux objets ponctuels A et B exercent l'un sur l'autre une force attractive dirigée suivant la droite qui les joint. Cette force varie proportionnellement au produit de leurs masses et à l'inverse du carré de la distance qui les sépare.

(3)  (3 bis)

·  est le vecteur unitaire dirigé de A vers B.
· r est la distance qui sépare A et B.
· G est la constante de gravitation : G = 6,67 ´ 10 ^{- 11}  (4)  dans le système international d'unités (S.I.)

· Cette relation est encore vraie pour deux objets à répartition sphérique de masse. La distance r est alors égale à la distance séparant le centre des deux sphères.
· En mécanique classique, on identifie la masse gravitationnelle figurant dans cette loi de gravitation universelle et la masse inertielle qui intervient dans la 2° loi de Newton (voir la leçon 11).

3- CHAMP DE GRAVITATION. VECTEUR CHAMP DE GRAVITATION 

· En un point B de l'espace existe un champ de gravitation caractérisé par le vecteur si un corps de masse M_B, placé en B, est soumis à une force gravitationnelle :

= M_B   (5)

Le vecteur  représente le champ de gravitation créé en B par les masses autres que M_B

· Un objet ponctuel de masse M_A, placé au point A, engendre un champ de gravitation  au point B, situé à la distance r du point A :

g = G.MA / r²  (6)

est centripète  ( 6 bis)

Cette relation (6) est une conséquence des relations F_B = G.M_AM_B / r² (3) et F_B = M_B.g (5)
Remarque : Le champ de gravitation créé par un objet à répartition sphérique de masse est le même, pour un point extérieur, que celui créé par un objet ponctuel de même masse, placé en son centre. 
· Le champ de gravitation de la terre de masse M₀, de rayon R₀, varie avec l'altitude :

· Au niveau du sol, on peut écrire g₀ = G.M₀ / R₀² ou encore G . M₀ = g₀ . R₀²  (7)
· A l'altitude h (R = R₀ + h) on écrit g = G.M₀ / R² ou encore G . M₀ = g . R ²  (8)

Les relations (7) et (8) permettent d'écrire :

g ´ R ² = g0 ´ R0² (9)

Comme R = R₀ + h, la relation ci-dessus s'écrit encore g = g₀ (R₀ / R₀+ h) ² (10)

4- BASE DE FRENET POUR L'ETUDE D'UN MOBILE PONCTUEL SE DEPLACANT DANS UN PLAN

4-1 Base de Frenet (cas des trajectoires planes) 
Cette base est constituée de deux vecteurs unitaires  et .


Le vecteur unitaire  est tangent à la trajectoire plane, au point M où se trouve le mobile. Ce vecteur est orienté arbitrairement (pas nécessairement dans le sens du mouvement).
Le vecteur unitaire  est normal à la trajectoire. Il est orienté vers l'intérieur de la courbe.
En classe terminale nous limiterons l'emploi da la base de Frenet au cas des mouvements circulaires.
4-2 Mouvement circulaire d'un mobile ponctuel - Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération dans la base de Frenet.
Désignons par  et  les vecteurs vitesse et accélération du mobile ponctuel décrivant un cercle.
On admettra les résultats suivants :

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire : (11).

L'accélération  est dirigée vers l'intérieur de la trajectoire : (12) Elle peut avoir deux coordonnées, l'une tangentielle, l'autre normale : (13) aT =  est la valeur de l'accélération tangentielle mesurée sur l'axe . Elle peut être positive, négative ou nulle. (14) aN =  est la valeur de l'accélération normale mesurée sur l'axe . Elle est positive.

· Exemples : 

4-3 Mouvement circulaire uniforme d'un mobile ponctuel
Si le mobile ponctuel décrit sa trajectoire circulaire à vitesse constante on dit qu'il est animé d'un mouvement circulaire uniforme.
Le vecteur vitesse  (15) est tangent à la trajectoire. Sa valeur est constante mais sa direction varie. Par conséquent seule l'accélération tangentielle  est nulle. L'accélération normale, elle, n'est pas nulle. Sa valeur  traduit la variation de la direction du vecteur vitesse.

5- SATELLITE A ORBITE CIRCULAIRE

Ce paragraphe est traité sous forme de problème résolu.

RAPPELS :
Dans la base de Frenet :  (16)
Force gravitationnelle de Newton : F = m . g = G m M / r ² ® g = G M / r ² (17)

ENONCE : La Lune. Troisième loi de Képler

On admet que la Lune décrit une trajectoire circulaire, de rayon r = 384000 km, autour de la Terre.
La Terre est assimilée à une sphère de masse M = 6,0 ´ 10 ²⁴ kg et de rayon R = 6400 km.
· 1 Définir le référentiel géocentrique. (corrigé)
· 2 Calculer, dans le référentiel ci-dessus, la vitesse v de la lune et sa période de révolution T.
Constante de gravitation universelle :

G = 6,67 ´ 10 ^- 11 S.I. (Système international d'unités) (c)

· 3 Etablir la troisième loi de Képler T² / r³ = 4.p ² / G.M.
En déduire la période de révolution du télescope Hubble qui gravite autour de la Terre à l'altitude h = 600 km. (c)
 SOLUTION :

· 1 (énoncé) Le référentiel géocentrique supposé Galiléen est un solide formé par le centre de la terre et par les centres de 3 étoiles lointaines (les quatre points n'étant pas dans un même plan). Dans ce référentiel Paris décrit un cercle.

· 2 (e) Déterminons, dans le référentiel géocentrique, la vitesse v de la lune et sa période de révolution T

· Référentiel Galiléen : le référentiel géocentrique.
Système étudié : la Lune de masse m, située à la distance r du centre de la Terre..
Une seule force extérieure est appliquée sur la Lune :

: attraction gravitationnelle de la Terre sur la Lune.

On peut écrire, dans la base de Frenet  ,  :

=  (18)

Appliquons la deuxième loi de Newton (théorème du centre d'inertie) (revoir la leçon 11) :
Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :

Ce théorème s'écrit ici :

= m  (19)
= m (  )  (20)

Identifions les coefficients de  , d'une part, puis ceux de  , d'autre part.

(21) 0 = m   = m  (22) 

La relation (21) entraîne a_T =  = 0 (21 bis) et montre que la vitesse a une valeur constante. L'accélération tangentielle est nulle mais il y a une accélération centripète a_N =  = G M / r² (22 bis)  car la direction du vecteur vitesse varie.
La relation (22 bis) permet de calculer la vitesse :

v ² = G M / r(23)

· Calculs numériques :
L'énoncé donne : G = 6,67 ´ 10 ^{- 11} SI M = 6,0 ´ 10 ²⁴ kg r = 384000 km = 3,84 ´ 10 ⁸ m
Portons ces valeurs dans la relation (23) :

v ² = G M / r = 6,67 ´ 10 ^{- 11} ´ 6,0 ´ 10 ²⁴ / 3,84 ´ 10 ⁸ = 1,042 ´ 10 ⁶ m² / s².

v = 1021 m / s (24)

· La période de révolution de la Lune autour de la terre est, dans le référentiel géocentrique :

T = 2 p r / v (25) soit, numériquement : T = 2,363 ´ 10 6 s = 27,3 jours (26)

Remarque :
L'accélération du centre d'inertie de la Lune est telle que :

a_T =  = 0 m / s²
a_N =  = (1021)² / (3,84 ´ 10⁸) = 2,7 ´ 10 ^{- 3} m / s² d'après 
= 0,0027 

· 3 (e) Etablissons la 3 ° loi de Kepler.
Les relations (23) v ² = G M / r et (27) T = 2 p r / v entraînent :

T ² = 4 p ² r ² / v ² = 4 p ² r ² / (G M r ^- 1) soit :

T 2 / r 3 = 4 p ² / (G M) = constante (28). C'est la troisième loi de Képler.

· Calculons la période de révolution du télescope Hubble qui gravite autour de la Terre à l'altitude h = 600 km.
Pour le satellite Hubble (r₁ = R + h = 6400 + 600 = 7000 km = 7 ´ 10 ⁶ m) on trouve une période T₁ telle que

Satellite Hubble  T₁² / r₁³ = 4 p ² / (G M) = T ² / r ³ Lune

On en déduit :

T₁² = T ² (r₁ / r) ³ = ( 2,363 ´ 10 ⁶ ) ² ( 7 ´ 10 ⁶ / 3,84 ´ 10 ⁸ ) ³
T₁² = 3,38 ´ 10 ⁷ s²

T1 = 5816 s = 1 h 37 min  (29)

Remarque :
L'énoncé donne la masse M de la Terre (M = 6,0 ´ 10 ²⁴ kg). Cette valeur permet de calculer la constante de la 3° loi de Képler :

T ² / r ³ = 4 p ² / (G M) = constante
T ² / r ³ = 4 p ² / (G M) = 4 p ² / ( 6,67 ´ 10 ^- 11  x 5,98 x 10 ²⁴) = 9,90 x 10 ^- 14 s ² / m ³

Pour tout satellite gravitant autour de la Terre on a donc T ² / r ³ = constante 9,90 x 10 ^- 14 s ² / m ³
(on peut retenir que pour tout satellite terrestre T ² / r ³ est voisin de 10 ^- 13 s ² / m ³)