Les fonctions exponentielles
Définition et caractérisation de l’exponentielle de base a
Pour x réel et a réel strictement positif, a
x = e
x ln(a)
.
Pour a > 0, la fonction x 7→ a
x
s’appelle la fonction exponentielle de base a.
Pour a > 0 donné, la fonction x 7→ a
x
est l’unique fonction f, définie et dérivable sur R et vérifiant
f(1) = a et pour tous réels x et y, f(x + y) = f(x) × f(y).
Propriétés analytiques
a > 1 = a y
x
1
1
a
a = 1
1 y = 1
x
a < 1
1
1
a
y = a
x
Pour tout réel x et tout réel strictement positif a, a
x > 0.
Si a > 1 Si 0 < a < 1
lim
x→−∞
a
x
= 0 lim
x→−∞
a
x
∞+ =
lim
x→+∞
a
x
= +∞ lim
x→+∞
a
x
= 0
Théorèmes de croissances comparées
Pour tout réel a > 1 et tout entier naturel non nul n, lim
x→+∞
a
x
x
n
.∞+ =
Pour tout réel a > 1 et tout entier naturel non nul n, lim
x→−∞
x
n
a
x
= 0
Propriétés algébriques
a désigne un réel strictement positif. a et b désignent des réels strictement positifs.
a
0 = 1 et a
1 = a.
Pour tous réels x et y, a
x+y = a
x × a
y
Pour tout réel x, (ab)
x = a
x
b
x
.
Pour tout réel x, a
x
6= 0 et a
−x =
1
ax
Pour tout réel x, on a
a
b
x
=
a
x
bx
.
Pour tous réels x et y, a
x−y =
a
x
ay
.
Pour tout réel x et tout entier relatif n, (a
x
(
n = a
nx
.
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