Transformations du plan complexe

Transformations du plan complexe

Translations

t−→u désigne la translation de vecteur

−→u . Pour tous points M et M′

du plan, t−→u (M) = M′ ⇔

→−−−

MM′ =

−→u .

−→u est un vecteur d’affixe a. L’expression complexe de la translation de vecteur

−→u est

z

′ = z + a.

• t−→u est une isométrie du plan ou encore t−→u conserve les distances.

• t−→u conserve les angles orientés.

• t−→u conserve l’alignement.

• Images de figures :

– Soit (D) une droite passant par un point A. L’image de (D) par t−→u est la droite parallèle à (D) passant par t−→u (A).

– L’image du segment [AB] par t−→u est le segment [t−→u (A)t−→u (B)].

– L’image du cercle de centre I et de rayon R par t−→u est le cercle de centre t−→u (I) et de même rayon.

• t−→u conserve le parallélisme et l’orthogonalité.

• t−→u conserve les aires.

Homothéties

h désigne l’homothétie de centre Ω et de rapport k. Pour tous points M et M′

du plan, h(M) = M′ ⇔

→−−−

ΩM′ = k

→−−

ΩM.

Ω est un point d’affixe ω et k est un réel. L’expression complexe de l’homothétie de centre Ω et de rapport k est

z

′ = ω + k(z − ω).

• h multiplie les distances par |k| et les aires par k

2

.

• h conserve les angles orientés.

• h conserve l’alignement.

• Images de figures :

– Soit (D) une droite passant par un point A. L’image de (D) par h est la droite parallèle à (D) passant par h(A).

– L’image du segment [AB] par h est le segment [h(A)h(B)].

– L’image du cercle de centre I et de rayon R par h est le cercle de centre h(I) et de rayon |k|R.

• h conserve le parallélisme et l’orthogonalité.

Rotations

r désigne la rotation de centre Ω et d’angle θ. On a r(Ω) = Ω et pour tous points M et M′

du plan distincts de Ω,

r(M) = M′ ⇔ ΩM′ = ΩM et



→−−

ΩM,

→−−−

ΩM′



= θ (2π).

Ω est un point d’affixe ω et θ est un réel. L’expression complexe de la rotation de centre Ω et d’angle θ est

z

′ = ω + e

iθ

(z − ω).

r désigne la rotation de centre Ω et d’angle θ.

• r est une isométrie.

• r conserve les angles orientés.

• r conserve l’alignement.

• Images de figures :

– A et B sont deux points. L’image de (AB) par r est la droite (r(A)r(B)).

– L’image du segment [AB] par r est le segment [r(A)r(B)].

– L’image du cercle de centre I et de rayon R par r est le cercle de centre r(I) et de même rayon.

• r conserve les aires.

• r conserve le parallélisme et l’orthogonalité.