OSCILLATIONS ELECTRIQUES LIBRES DANS UN CIRCUIT R, L, C SERIE

OSCILLATIONS ELECTRIQUES LIBRES DANS UN CIRCUIT R, L, C SERIE

Cette leçon comporte trois paragraphes.

1- RAPPELS

Unités :

La résistance R du conducteur ohmique est en ohm (W).	La charge q est en coulomb (C).
Le coefficient d'auto-inductance L de la bobine est en henry (H).	La puissance p est en watt (W).
La capacité C du condensateur est en farad (F).	L'énergie W est en joule (J).
L'intensité du courant i est en ampère (A).	Le temps t est en seconde (s).
La tension u est en volt (V).

 2- OSCILLATIONS LIBRES NON AMORTIES D’UN CIRCUIT L, C (résistance négligeable)

 Le montage suivant constitue un oscillateur électrique L, C. En l'absence de résistance on dit que l'oscillateur est non amorti. Etudions ce qui se passe lorsque, après avoir chargé le condensateur, on le relie à la bobine d'inductance L.

· Le condensateur est initialement chargé.
L'armature A porte la charge Q_max positive, l'armature B porte la charge - Q_max.
L'énergie potentielle initialement stockée par le condensateur sous forme électrique est :

WAB =  Q2max / C (1)

· A la date t = 0, on relie le condensateur chargé à la bobine.

 

 La loi des tensions s’écrit :

u_AM + u_MB + u_BA = 0 (maille AMBA) (2)

Exprimons ces différentes tensions : u_AM = L di_AM / dt u_MB = 0 V  u_BA = q_B / C
Portons ces valeurs dans l'équation (2) :

(3)

Dans ce circuit série, on sait que :

i_AM = i_MB = i_BA = i (4)

Pour le dipôle BA (condensateur) on peut écrire :

i_BA =  (5)

Portons dans (4) :

i_AM = i_BA = (6)

Dérivons (6) par rapport à t :

=  (7)

Portons (7) dans la relation (3) :

(8)

Finalement :

L'équation (9) équivalente à l'équation (10) est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.
· La solution de l'équation différentielle (10) est :

q B = Qmax sin (t + j ) (11) en posant  (12) Qmax est la charge maximale de l'armature B. j est la phase à l'origine des dates. est la période propre des oscillations.

On peut le vérifier facilement en calculant :

_B =  Q_max cos ( t + j ) (13)
_B = - Q_max sin (  t + j ) (14)

On en déduit bien que :

en posant  (12)

· L'intensité du courant électrique est :

i = i BA = dq B / dt =  Qmax cos ( t + j ) (13) i = Imax cos (t + j ) (13 bis) avec Imax = x Qmax

Remarque : Trois constantes T _o , Q_max et j interviennent dans la solution q _B = Q_max sin (  t + j ) (11).
· T _o est la période propre au circuit. Elle ne dépend que du circuit par L et C :

(12)

· Q_max et j se déterminent à partir de deux données, en général les valeurs de q _B (11) et i (13) à l'instant initial (voir le problème 10 A).
· En l'absence de résistance, l'énergie électromagnétique du circuit se conserve. Cela s'écrit :

(14)

Cette énergie, initialement stockée dans le condensateur, passe progressivement dans la bobine puis ensuite de la bobine dans le condensateur et le cycle recommence. En l'absence de conducteur ohmique il n'y aurait donc aucune perte calorifique.
· On peut retrouver l’équation différentielle (9) en écrivant que l'énergie électromagnétique du circuit se conserve (voir le problème 10 C).
· Conclusion : En l'absence de résistance, les oscillations électriques libres d'un circuit L,C sont donc sinusoïdales, de période propre :

(12)

 3- OSCILLATIONS LIBRES AMORTIES D’UN CIRCUIT L, C AVEC RESISTANCE R

· En présence de résistance R l’énergie électromagnétique totale stockée dans C et L diminue car elle est dissipée en énergie calorifique (chaleur) dans la résistance par effet Joule.

En présence de R, la loi des tensions appliquée à la maille AMBA conduit à  (15)
La solution mathématique de l'équation (15) est hors programme. Seule l’allure, évidente, des courbes est à connaître :

Remarque : En présence du conducteur ohmique de résistance R on peut néanmoins entretenir des oscillations électriques d'amplitude constante avec un montage à amplificateur opérationnel. Ce montage est chargé de redonner au circuit R, L, C l'énergie consommée dans la résistance R par effet Joule.(voir le paragraphe 4)

4- ENTRETIEN DES OSCILLATIONS. MONTAGE A RESISTANCE NEGATIVE

Le montage suivant, dont l'étude approfondie est hors programme, permet d'entretenir des oscillations quasi sinusoïdales dans un circuit r, L, C malgré la présence de la résistance r.(voir le problème 10 B)
L'alimentation de l'amplificateur opérationnel n'est pas représentée sur le schéma.

· On peut montrer que si la résistance réglable Ro est choisie égale à la résistance r du circuit r, L, C alors des oscillations sinusoïdales de période égale à la période propre  du circuit prennent naissance et se maintiennent.
L'énergie perdue dans la résistance r du circuit r, L, C est compensée par l'énergie électrique apportée par la partie bleue du circuit (en fait, par l'alimentation de l'amplificateur opérationnel, non représentée sur le schéma ci-dessus). Grâce à cet apport d'énergie de l'alimentation vers l'oscillateur, l'énergie totale stockée dans L et C reste constante malgré la présence de la résistance r. Il continue à y avoir échange continuel d'énergie entre le condensateur et l'inductance au cours des oscillations. On dit parfois que la partie bleue du montage se comporte comme une "résistance négative" de valeur - r.

Des oscillations sinusoïdales sont alors entretenues dans le circuit malgré la présence de r. On peut écrire : i = imax cos (t + j ) (13 bis) avec  (12) To est la période propre des oscillations.

· Remarque : Pour l'amorçage des oscillations (régime transitoire) on donne à Ro une valeur très légèrement supérieure à r. Une étude plus précise du montage peut-être faite (hors programme en T S). Un oscilloscope à mémoire permet de visualiser le régime transitoire (démarrage) puis le régime permanent quasi sinusoïdal.

En fait, les premières oscillations prennent naissance grâce à de très petits mouvements aléatoires des électrons libres dans le métal constituant la résistance. Ces très petites oscillations d'électrons (dues à l'agitation thermique) existent dans tout conducteur, même non relié à un générateur.