BOBINE ET DIPÔLE RL

BOBINE ET DIPÔLE RL

Cette leçon comporte trois paragraphes. Le dernier paragraphe est traité sous forme de problème résolu.
En classe de première nous avons étudié le conducteur ohmique, dans la leçon précédente nous avons étudié le condensateur. Dans le présent chapitre nous allons parlé d'un nouveau dipôle : la bobine. Déjà, en classe de première, nous avons utilisé des bobines pour produire des champs magnétiques.
Rappelons que tension et intensité d'un courant sont des grandeurs algébriques (voir la leçon 8).

1- DEFINITION ET REPRESENTATION SYMBOLIQUE D'UNE BOBINE

·Une bobine est un dipôle formé par l'enroulement cylindrique d'un fil conducteur.

·Les flèches présentes sur le schéma (flèches U et i en sens contraire - convention récepteur) permettent d'alléger les écritures :

U = UAB  (1)  et  i = iAB  (2)

Remarque :
·La tension U_AB est égale à la différence de potentiel entre les points A et B :

U_AB = U_A - U_B

·La flèche U (voir le schéma) indique "le potentiel électrique" de son sommet A moins "le potentiel électrique" de sa base B :

U = U_A - U_B = U_AB (3)

·Dans les exercices, il est conseillé de garder les indices, notamment pour les tensions (On peut ajouter des points A, B, M, N, etc. .. sur un schéma figurant dans l'énoncé).

L'écriture U_AB est préférable à l'écriture U associée à une flèche sur le schéma.

2- RELATIONS FONDAMENTALES POUR UNE BOBINE

2.1 Relation entre l'intensité du courant électrique et la tension aux bornes d'une bobine (résistance r négligeable)
On réalise le montage suivant en montant en série un conducteur ohmique BC de résistance R et une bobine AB dont la résistance r est très faible.

 

Pour un réglage convenable du signal délivré par le générateur BF, on observe, sur l'oscilloscope, les enregistrements suivants :

·La tension u_BC est triangulaire de période T. Faisons une étude entre 0 et T.
Entre les dates 0 et T / 2, on peut écrire u_BC = R.i = a.t (4) (a est une constante qui s'exprime en V / s).
Entre les dates T / 2 et T, on peut écrire u_BC = R.i = - a.t + b (5)
On peut calculer  :

= a / R (6)  entre les dates 0 et T / 2.
= - a / R (7) entre les dates T / 2 et T.

·La tension u_AB est une tension en créneaux de période T. Faisons une étude entre 0 et T.
Entre les dates 0 et T / 2, on peut écrire u_AB = u_o > 0 (8)( u_o est une constante)
Entre les dates T / 2 et T, on peut écrire u_AB = - u_o < 0 (9)
·Le rapport   u_AB / ( di / dt ) s'écrit :

u_AB / (  ) = u_o / (a / R) = u_o . R / a (10) entre les dates 0 et T / 2.
u_AB / (  ) = - u_o / (- a / R) = u_o . R / a (10 bis) entre les dates 0 et T / 2.

Ce rapport u_AB / (  ) reste donc constant. On peut donc écrire :

u_AB / (  ) = L (11) où la constante L est appelée inductance de la bobine AB.

L'inductance L s'exprime en V.s / A ou, plus simplement en henry ( H )
Remarque : Si nous changeons, grâce au générateur BF, le signal triangulaire u_BC nous trouvons toujours la même valeur pour l'inductance L de la bobine.
·La relation entre l'intensité d'un courant électrique et la tension aux bornes de la bobine AB dans le cas où la résistance r de la bobine est négligeable s'écrit donc :

uAB = L .  (11)

Voyons ce que devient cette relation, dans le cas où la résistance r de la bobine n'est plus négligeable. 
2.2 Relation entre l'intensité du courant et la tension aux bornes d'une bobine d'inductance L, de résistance r.



Dans le cas d'une bobine AB, d'inductance L et de résistance interne r, on peut écrire :

(12) (12 bis)

Remarque : Revenons sur deux cas particuliers :

·Si r = 0 W alors u_AB = L . (11).
·Si i = constante alors u_AB = r . i_AB (13). En courant continu, une bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

2.3 Energie magnétique emmagasinée dans une bobine
Une bobine parcourue par un courant emmagasine de l'énergie magnétique. Cette énergie est restituée lorsqu'on fait décroître ou lorsqu'on annule l'intensité de ce courant.
En classe terminale, nous admettrons que l'énergie stockée par une bobine d'inductance L, parcourue par un courant d'intensité i est :

Wm =  L i 2 (14)

Unités : W_m est en joule (J) - L est en henry (H) - i est en ampère (A)
Remarque : La relation W_m =  L i ² (14) implique que l'intensité dans une bobine ne subisse pas de discontinuité. En effet si l'intensité passait, par exemple, instantanément (dt = 0) de la valeur i = 0 A à la valeur 3 A, alors la puissance instantanée p = dW / dt avec laquelle cette énergie varierait serait infinie. Ce fait est impossible. Par conséquent l'intensité du courant dans une bobine ne subit pas de discontinuité. 

TABLEAU : les relations fondamentales pour une bobine d'inductance L et de résistance interne r. · La relation uAB = r iAB + L .  (12)  relie l'intensité du courant iAB à la tension uAB. Cette relation est parfois appelée loi d'Ohm pour une bobine. · L'énergie potentielle magnétique stockée dans une bobine est donnée par la relation Wm =  L i 2  (14) · La puissance électrique transformée en puissance calorifique dans la résistance interne est pcalorifique = r i 2.

 3- DIPOLE R, L - REPONSE D'UNE BOBINE A UN ECHELON DE TENSION

Ce paragraphe est traité sous forme de problème résolu.
ENONCE :
On considère le montage suivant :

Pour visualiser les tensions on utilise un oscilloscope à mémoire.
· a- Etude expérimentale.
A la date t = 0, on relie K à P. Sur l'écran de l'oscilloscope on enregistre les graphes suivants :

  

·Quelle est la tension observée sur la voie 1 ? Justifier l'appellation échelon de tension.
·Quelle est la tension observée sur la voie 2 ?
·Que peut-on dire de l'effet de la bobine sur l'établissement du courant ? (corrigé)
· b- Etude théorique.
Etablir l’équation différentielle reliant l'intensité du courant i à la date t. On appelle R la résistance totale du circuit. (c)
· c- Vérifier que  est solution de cette équation différentielle.
Calculer la constante de temps du circuit, définie par t = . On donne R = 4,0 W , L = 120 mH. (c)
· d- Calculer la valeur de i aux dates 0, t , 5 t et pour t ® ¥ . On donne E = 12 V.
Tracer l'allure de la courbe donnant i en fonction de t.
Montrer que la constante de temps t =  du dipôle L, R est égale à la date pour laquelle la tangente à la courbe, tracée à l'origine des temps, coupe l’asymptote horizontale.
Cette constante de temps t caractérise le retard à l'établissement du courant dans le circuit. (c)
· e- Calculer l’énergie magnétique "stockée" dans la bobine à la date t = 0 puis en régime permanent (pour t ® ¥). (c)
· f- Calculer, à la date t, les tensions u_AB, u_BM et u_AM. (c)

SOLUTION : 

· a- (énoncé) Etude expérimentale.
·Sur la voie 1, on observe la différence de potentiel u_A - u_M égale à la tension u_AM. Cette tension vaut initialement 0 V, lorsque le circuit est ouvert. Quand , à la date 0, on ferme le circuit en basculant l'interrupteur K, cette tension passe brusquement à la valeur E = 12 V, tension aux bornes PM du générateur. Ce brusque passage de 0 V à E = 12 V s'appelle un échelon de tension.

·Sur la voie 2, on observe la différence de potentiel u_B - u_M = u_BM = R . i. Au facteur multiplicatif R, on observe donc l'allure de l'évolution de l'intensité du courant i.

·On remarque que la présence de la bobine AB retarde l'établissement du courant. En effet, en son absence, l'intensité du courant passerait instantanément de la valeur 0 à la valeur I_max = E / R.

· b- (e) Etude théorique.
Etablissons l’équation différentielle reliant i = i_AM à la date t.
La loi des tensions (maille PABMP) s’écrit :

u_PA + u_AB + u_BM + u_MP = 0

Exprimons chacune de ces tensions : u_PA = 0 V  u_AB = L  u_BM = R i_BM u_MP = - E

0 + R i_BM + L  – E = 0(15)

Posons i = i_AB = i_BM, la relation (15) devient :

0 + L  + R i - E = 0

L + R i = E (16)

C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, à second membre constant.

· c- (e) Vérifions que  (17) est solution de l'équation L  + R i = E (16) :
·Dérivons  (17 bis) par rapport au temps.
On obtient :

(18)

·Exprimons L  + R i . On obtient, après simplification :

L  + R i = E (16)

Conclusion :

La relation (17) est bien solution de l'équation L  + R i = E  (16)

·Calculons la constante de temps t =  du circuit :

t =  = 0,120 / 4 = 0,030 s  (19)

· d- (e) Allure de la courbe donnant i en fonction de t :

Calculons en fonction de t quelques valeurs de i données par l'équation  (17) : · Si t0 = 0 s alors i0 =  ´ (1 – e – 0) = (12 / 4) (1 – 1) = 3 ´ 0 = 0 A · Si t1 = t =  alors i1 =  ´ (1 – e – 1) = 3 ´ ( 0,63 ) = 1,89 A · Si t5 = 5 t = 5  alors i5 =  ´ (1 – e – 5) = 3 A · Si t ® ¥ alors i ® imax =  ´ (1 – 0) =  = 3 A. On a une asymptote horizontale.

Après une durée égale à t, l'intensité du courant atteint 63 / 100 de sa valeur maximale.
Après une durée voisine de 5 t, on peut considérer que le régime transitoire cesse et que le régime permanent i_max =  = 3 A est pratiquement atteint.
Remarque :
En régime permanent (i = 3 A = constante;  = 0 A / s) la relation (16) L  + R i = E se simplifie et s'écrit :

0 + R i _{régime permanent} = E

Cette dernière relation donne bien :

i _{régime permanent} =  = 3 A

Allure de la courbe

Cette courbe théorique représentant i en fonction de t ressemble bien à la courbe expérimentale donnant l'évolution de R.i, observée sur la voie 2 de l'écran de l'oscilloscope.
Propriétés de la constante de temps t
·De l'équation :

(18)

on déduit :

()₀ = 

·La tangente à l'origine des temps a pour pente ()₀ = . Son équation est :

i =  t (20)

·D'après l'équation (17) , si t tend vers l'infini, alors i tend vers .
L'asymptote est une droite horizontale d'équation i =  (21)
· Les coordonnées du point d'intersection H de cette asymptote et de la tangente à l'origine satisfont à :

i =  t (20) et à i =  (21)

Soit :

i_H = (22) et t_H =  (23)

On voit que t_H =  est bien égal à la constante de temps t =  du dipôle inductance-résistance.

La constante de temps t =  du dipôle L, R est égale à la date pour laquelle la tangente à la courbe, tracée à l'origine des temps, coupe l’asymptote horizontale.

Plus t =  est grand, plus le courant est long à s'établir dans le circuit.

· e- (e) Calculons l’énergie magnétique W =  L i ² stockée dans la bobine à la date t = 0 puis pour t ® ¥ (régime permanent)

Si t = 0 s alors W0 = 0 Joule  (24) Si t ® ¥ alors Wmax =  L i 2max = 0,5 ´ 0,12 ´ 3 2 = 0,54 J  (25)

Cette énergie magnétique est une énergie potentielle mise en réserve dans la bobine.  Elle est restituée à l'ouverture du circuit et peut même causer des dégâts aux bornes des interrupteurs (étincelle de rupture).
Remarque : Pour éviter ces dégâts à l'ouverture, on peut protéger le circuit en plaçant soit un condensateur aux bornes de l'interrupteur, soit une diode convenablement branchée en parallèle sur la bobine (avec un conducteur ohmique pour dissiper l'énergie).
Par exemple, le circuit précédent sera protégé en plaçant une diode comme l'indique le schéma ci-dessous.

·A la fermeture du circuit, le courant circule de P vers A, la diode est dans le sens "non passant" et ne joue aucun rôle. L'intensité du courant atteindra pratiquement la valeur limite de 3 A au bout d'un temps voisin de 5 t = 0,15 s.
·A l'ouverture du circuit, l'intensité i_AB du courant ne peut pas passer brusquement de 3 A à 0 A pour les raisons expliquées ci-dessus. Ce courant transitoire circulera comme l'indique les flèches ci-dessous : 

B MmaAB

L'énergie initialement emmagasinée dans la bobine se dissipera sous forme calorifique dans le conducteur ohmique de résistance R. A la fin de ce régime transitoire l'intensité du courant sera nulle.
· f- (e) Calculons, à la date t, les tensions u_AB, u_BM et u_AM.
· Connaissant  (17) on peut retrouver (18)  et calculer :

(26)

· Connaissant  (17)  on peut calculer :

(27)

· Connaissant  (26) et (27) , on peut retrouver :

uAM = uAB + uBM = E (28)(évident d'après le schéma)

Remarque : Les graphes associés aux tensions u_AB, u_BM et u_AM se tracent aisément.