Evolution des systèmes électriques

CONDENSATEUR - DIPÔLE RC

· Cette leçon comporte cinq paragraphes. Le dernier paragraphe est traité sous forme de problème résolu.
· En classe de première nous avons étudié le conducteur ohmique. Nous avons alors vu que la tension U_AB aux bornes A et B du conducteur ohmique et l'intensité I_AB du courant traversant ce dipôle était reliées par la loi d'Ohm qui s'écrit :

U_AB = R. I_AB (1)

La résistance R caractérise le conducteur ohmique. Elle s'exprime en ohm ( W ).
· Dans cette leçon nous allons étudier un nouveau type de dipôle : le condensateur.
· Tout d'abord nous allons rappeler que tension et intensité d'un courant sont des grandeurs algébriques.

1- TENSION ET INTENSITE D'UN COURANT ELECTRIQUE SONT DES GRANDEURS ALGEBRIQUES

Considérons les deux circuits série suivant. On a orienté différemment les deux circuits par une flèche reliant le générateur et le conducteur ohmique de résistance R1. Cette flèche,située sur le fil de connexion, permet d'algébriser l'intensité du courant électrique.
Les flèches tension sont, elles, situées à coté des dipôles.
Nous calculerons quelques tensions en appliquant, notamment la loi d'Ohm et la loi d'additivité des tensions.

  

2- DEFINITION ET REPRESENTATION SYMBOLIQUE D'UN CONDENSATEUR

· Un condensateur est constitué de deux armatures A et B conductrices séparées par un isolant.
Cet isolant, encore appelé diélectrique, peut être de l’air, du mica, de la céramique, du téflon, un polyester, etc.
· Si des électrons négatifs viennent s'accumuler sur l'armature B (comme de l'eau dans un réservoir), alors ces électrons négatifs repoussent, à distance, les électrons libres de l'armature métallique A, laquelle se charge positivement. La charge globale du condensateur reste toujours nulle. Par conséquent, les charges des armatures A et B sont constamment égales mais de signe opposé :

qA = - qB (en Coulomb) (2)

Remarquons qu'aucun électron ne peut traverser l'isolant situé entre les armatures A et B. Par contre des électrons peuvent circuler dans les fils extérieurs connectés aux armatures. L'intensité du courant traversant ces fils de connexion peut être noté i = i_AB.
· Les flèches présentes sur le schéma (convention récepteur) permettent d'alléger les écritures :

U = UAB (3) et i = iAB (4)

Remarques :
· La tension U_AB est égale à la différence de potentiel entre les points A et B :

U_AB = U_A - U_B

· La flèche U (voir le schéma) indique "le potentiel électrique" de son sommet A moins "le potentiel électrique" de sa base B :

U = U_A - U_B = U_AB (5)

· D'après les définitions ci-dessus :

U_BA = - U_AB (6) et  i_BA = - i_AB (7)

· Dans les exercices, il est conseillé de garder les indices, notamment pour les tensions.
L'écriture U_AB est préférable à l'écriture U associée à une flèche sur le schéma.

 3- RELATIONS FONDAMENTALES POUR UN CONDENSATEUR

3.1 Courant d'intensité constante.
On peut définir l'intensité d'un courant constant comme étant la mesure du débit de charge, c'est-à-dire la quantité de charge (exprimée en coulombs) qui traverse une section du conducteur par unité de temps (exprimée en secondes). On écrit alors :

i = q / t (8)

Le sens réel du courant correspond à celui dans lequel s'écoulerait une charge q positive.

3.2 Courant d'intensité variable.
Dans le cas d'un courant d'intensité variable, la quantité de charge (exprimée en coulombs) qui traverse une section de conducteur par unité de temps (exprimée en secondes) varie.
Pendant la durée dt la quantité de charge (exprimée en coulombs) qui traverse une section de conducteur est dq.
On définit alors l'intensité instantanée du courant comme étant égale à la limite du rapport du rapport dq / dt lorsque dt tend vers 0. Cette étude conduit alors à considérer l'intensité comme la dérivée par rapport au temps de la quantité de charge.
On écrit :

i = dq / dt (9)

Unités : i est en ampère (A); dq est en coulomb (C) et dt est en seconde (s)
Remarque : En appliquant cette relation, il faudra faire attention au signe (voir les paragraphes suivants). Selon les conventions adoptées on pourra être amené à écrire :

i = - dq / dt (9 bis)

3.3 Relation entre la charge d'un condensateur et la tension à ses bornes.
On va, ici, s'appuyer sur une expérience de charge d'un condensateur à courant constant (condensateur déchargé au départ). Pour ce faire, on considère le montage suivant :

Le générateur est un générateur de courant constant (I = 2,0 mA). Ce générateur possède un débit constant de charges électriques (des électrons négatifs s'accumulent sur l'armature B, des charges positives s'accumulent sur l'armature A). On peut donc écrire :

q_A = i _AB . t (10)

Soit, comme i = i_AB

q_A = i . t (10 bis)

· Une carte d'acquisition et un logiciel permettent de tracer, avec un ordinateur, la courbe u_AB = f ( t ).

Le graphe obtenu montre que la tension est une fonction linéaire du temps. On peut écrire :

u_AB = K . t (11)

Ici, le générateur est un générateur de courant constant. Ce générateur possède un débit constant de charges électriques (des électrons négatifs s'accumulent sur l'armature B, des charges positives s'accumulent sur l'armature A). On peut donc écrire :

q_A = i . t (12)

Les relations (11) et (12) permettent d'écrire, en éliminant le temps t :

q_A / u_AB = i / K = Constante (13)

Dans cette expérience, K et i sont bien constants.
Posons i / K = q_A / u_AB = C

qA = C . uAB (14)

Le coefficient C, positif, est appelé capacité du condensateur. Il dépend de la géométrie du condensateur et de la nature de l'isolant.
On l'exprime en Farad (F) lorsque q_A est en coulomb (C) et u_AB en volt (V).
Remarque : Dans l'exemple ci-dessus, nous trouvons comme coefficient directeur de la droite u_AB = K . t

K = 3 / 0,06 = 50 V / s

Avec i = 2,0 mA = 0,002 A, il vient :

C = i / K = 0,002 / 50 = 0,000040 F
C = 4,0 ´ 10 ^{- 5} F = 40 m F

3.4 Relation i_AB = C du_AB / dt aux bornes d'un condensateur.

Un courant électrique quelconque, d'intensité i = i_AB positif fait varier la charge q_A de l'armature A. D'après la relation (7) on peut écrire :

i_AB = dq_A / dt (15)

Tenant compte de la relation q_A = C . u_AB (14) il vient, comme la capacité C du condensateur est constante :

i_AB = C . du_AB / dt (16)

iAB = dqA / dt = C . duAB / dt (17)

Remarque : Evidemment, dq_A désigne à la fois la variation de la charge de l'armature A et la quantité de charge qui traverse la section S de fil de connexion pendant la durée dt.

3.5 Energie stockée dans un condensateur
Un condensateur emmagasine de l'énergie lorsqu'on le charge. Cette énergie est restituée lors de la décharge de ce condensateur.
En classe terminale, nous admettrons que l'énergie d'un condensateur chargé est :

W_AB =  C u²_AB (18)

D'après la relation  q_A = C . u_AB (14), on peut aussi écrire :

W_AB =  q² / C =  q_A . u_AB (19)

TABLEAU : Les relations fondamentales pour un condensateur de capacité C · La capacité C du condensateur s’exprime en Farad (F). Elle est définie par la relation :   qA = C . uAB (14) · La relation ci-dessous relie l'intensité du courant à la tension. Elle est parfois appelée loi d'Ohm pour un condensateur : iAB = dqA / dt = C . duAB / dt (17) · L'énergie potentielle électrostatique stockée dans un condensateur chargé est donnée par la relation : WAB =  C u²AB (18)

Remarque 1 :

qA = C uAB (14)	qB = C uBA  (14 bis)	qB = - qA (2) UBA = - UAB (6)
iAB = dqA / dt = C duAB / dt (17)	iBA = dqB / dt = C duBA / dt (17 bis)	iBA = - iAB (7)
WAB =  C u²AB (16)	WBA =  C u²BA (18 bis)	WBA = WAB (19)

Remarque 2 :

· Des électrons arrivent sur une armature pendant que d'autres quittent l'autre armature. Ces électrons ne traversent pas le diélectrique qui est isolant. · D'après la relation (17) iAB = dqA / dt = C duAB / dt si la tension uAB est constante alors l'intensité du courant iAB = C duAB / dt est nulle. · D'après (14) qA = C uAB, la relation WAB =  C u²AB (16) peut aussi s'écrire : WAB =  qA . uAB =  qA² / C  (20)

 

4- DIPÔLE RC – ETUDE EXPERIMENTALE – CONSTANTE DE TEMPS t = RC

4.1- Etude expérimentale de la charge d’un condensateur par un échelon de tension.
On associe en série un condensateur de capacité c et un conducteur ohmique de résistance R. L'ensemble constitue un dipôle (R, C). On étudie la charge du condensateur lorsque la tension aux bornes du dipôle (R, C) augmente brusquement de 0 à la valeur E. On dit que le dipôle (R, C) est soumis à un échelon de tension.

Lorsqu’on relie l’interrupteur K à P le condensateur se charge en fonction du temps. Pendant le régime transitoire, la tension u_AB croît. Quand le régime permanent est atteint, la tension u_AB est constante et l’intensité du courant est nulle.

 

La constante de temps t d’un dipôle RC est le temps pour lequel la tangente à l’origine coupe l’asymptote horizontale. Elle caractérise la rapidité de la charge. On montrera plus loin que t = RC (voir ci-dessous).

4.2- Etude expérimentale de la décharge d’un condensateur à travers une résistance R.

Lorsqu’on relie l’interrupteur K à D le condensateur, initialement chargé, se décharge à travers la résistance en fonction du temps. Pendant le régime transitoire, la tension u_ABdécroît. Quand le régime permanent est atteint (au bout de 4 ou 5 t), la tension u_AB devient quasi constante (nulle) et l’intensité du courant est, alors, quasi nulle (i_AB = C du_AB / dt).

La constante de temps t d’un dipôle RC est le temps pour lequel la tangente à la date t = 0 coupe l’asymptote horizontale U_AB = 0. Elle caractérise la rapidité de la décharge. On montrera plus loin que t = RC (voir ci-dessous).

5- DIPÔLE RC – ETUDE THEORIQUE

 Ce dernier paragraphe est traité sous forme de problème résolu.

ENONCE :

5.1- Etude de la charge du condensateur à travers un conducteur ohmique de résistance R.
Le générateur PM possède une f.e.m. E. Sa résistance interne est négligeable.

a) A la date t = 0 s, on relie K à P. Montrer que l’équation différentielle reliant u_AB à t s'écrit :

RC du_AB / dt + u_AB = E ou encore :
t . du_AB / dt + u_AB = E en posant t = RC. (corrigé)

Montrer que, dans le système international d'unités, la constante t s'exprime en seconde.
b) Vérifier que la solution de l'équation différentielle ci-dessus est u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ]. (c)
c) Tracer l'allure de la courbe représentant u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ]. Déterminer littéralement les coordonnées du point d'intersection de la tangente à l'origine et de l'asymptote à la courbe. (c)
d) Calculer la constante de temps du circuit t = RC avec R = 10 kW et C = 0,5 mF.
Calculer la tension u_AB aux dates t₁ = t, t₂ = 5 t et lorsque t devient très grand. (c)
On donne E = 100 V.
e) Calculer, à la date t, l'intensité du courant i = i_AB. (c)

5.2- Etude de la décharge du condensateur à travers la résistance R.
Le condensateur étant chargé, on relie K à D à la date t = 0 lue sur un nouveau chronomètre.
a) Etablir la nouvelle équation différentielle reliant u_AB à t. (c)
b) Vérifier que la solution est u_AB = Uo exp ( – t / t ). Calculer la tension si t₁ = o, si t₂ = 5 t, si t tend vers l'infini. (c)

SOLUTION :

5.1- Etude de la charge du condensateur à travers un conducteur ohmique de résistance R.
Le générateur PM possède une f.e.m. E . Sa résistance interne est négligeable. C'est donc un générateur de tension parfait. La tension U_PM à ses bornes ne dépend pas de l'intensité du courant débité : U_PM = E > 0.

a) (énoncé) Etablissons l’équation différentielle reliant u_AB à t.
La loi des tensions (maille PABMP) s’écrit :

u_PA + u_AB + u_BM + u_MP = 0
0 + u_AB + R i_BM – E = 0 (1)

Mais :

i_BM = i_AB = dq_A / dt = C du_AB / dt (2)

Portons (2) dans (1) :

u_AB + RC du_AB / dt = E

Soit, en posant t = RC :

t . duAB / dt + uAB = E (3) avec t = RC

C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, avec second membre constant.
· L'équation différentielle (3) montre que t = RC s'exprime en seconde. En effet, les deux termes du premier membre de l'équation doivent s'exprimer en volt comme le second membre de l'équation. Cela implique que t s'exprime en seconde.
Remarque : L'analyse dimensionnelle permet de retrouver ce résultat. En effet :

· La loi d'Ohm U = R ´ i montre que [ R ] = [ U ] / [ I ]
· La relation i_AB = C du_AB / dt montre que [ C ] = [ I ] [ T ] / [ U ]

On en déduit [ RC ] = [ R ] [ C ] = [ T ]
Le produit t = RC a bien les dimensions d'un temps. Il s'exprime en seconde (unité du système international).

b) (e) Vérifions que la solution de l'équation différentielle (3) t . du_AB / dt + u_AB = E est :

u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ] = E - E exp ( - t / t ) (4)

En dérivant par rapport au temps :

du_AB / dt = 0 + ( E / t ) exp ( - t / t ) (4 bis)

Portons les expressions (4) et (4 bis) dans t . du_AB / dt + u_AB = t . ( E / t ) exp ( - t / t ) + E - E exp ( - t / t ). On trouve :

t . du_AB / dt + u_AB = E  (3)

L'expression u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ] (4) est bien solution de (3) t . du_AB / dt + u_AB = E

c) (e) L'allure de la courbe représentant u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ] est donnée ci-dessous (voir le tableau).

· Déterminons les coordonnées du point d'intersection H de la tangente à l'origine et de l'asymptote à la courbe.
La tangente à l'origine des temps a pour pente (du_AB/dt)₀ = E / t. Son équation est u₁ = ( E / t ) t (5).
· D'après (4) u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ], si t tend vers l'infini alors u_AB tend vers E.
L'asymptote est donc l'horizontale d'équation u₂ = E (6)
· Les coordonnées du point d'intersection H de la tangente à l'origine et de l'asymptote satisfont à :

u_H = ( E / t ) t_H (5 bis) et à u_H = E (6 bis) soit :

uH = E et tH = t = RC (7)

t = RC s'appelle constante de temps du circuit RC.

d) (e) Calculons la constante de temps du circuit t = RC.
Avec R = 10 kW et C = 0,5 mF on calcule t = RC = 10000 ´ 0,5 10 ^{- 6} soit :

t = RC = 5 ´ 10 - 3 s  (8)

D'après la relation u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ] (4), on voit que :

· Si to = 0 s alors uAB = E [ 1 - exp ( - 0 ) ] = E ( 1 - 1 ) = 0 V  (9) · Si t1 = t alors uAB = E [ ( 1 - exp ( - 1 ) ] = 0,63 E = 63 V  (10) · Si t2 = 5 t alors uAB = E [ ( 1 - exp ( - 5 ) ] = 0,993 E = 99,3 V  (11) · Si t tend vers l'infini alors uAB tend vers E = 100 V (12)

Retenons qu’au bout d’un temps égal à la constante t = RC la charge a atteint 63 % de sa valeur limite et qu'au bout d'un temps de 5 t, la charge a dépassé 99 pour cent de sa valeur limite.
Remarque : La durée T_1/2 nécessaire pour que u_AB atteigne  E est T_1/2 = t . ln 2. Cette durée caractéristique joue un rôle semblable à celui joué par la demi-vie d'une décroissance radioactive (voir la leçon 6).
e) (e) Calculons, à la date t, l'intensité du courant i = i_AB.
L'intensité du courant électrique i = i_AB est donnée par la relation (2) i_AB = dq_A / dt = C du_AB / dt i_AB.
La relation du_AB / dt = ( E / t ) exp ( - t / t ) (4 bis) permet d'écrire :

i_AB = dq_A / dt soit i_AB = C du_AB / dt = C ( E / t ) exp ( - t / t ) = C ( E / RC ) exp ( - t / t )

iAB = (E / R) exp ( - t / t )  (13)

Pour t = 0 l'intensité du courant est maximale (i_o = E/R). Pour t tendant vers l'infini, l'intensité tend vers 0 A.
5.2- Etude de la décharge du condensateur à travers la résistance R.

a) (e) Etablissons la nouvelle équation différentielle reliant u_AB à t lors de la décharge.
A la nouvelle date t = o, on bascule l'interrupteur K vers D. Le condensateur initialement chargé va se décharger.
La loi des tensions (maille ABMDA ) s’écrit :

u_AB + R i_BM + 0 + 0 = 0 (14)

Mais :

i_BM = i_AB = dq_A / dt = C . du_AB / dt (2)

Portons la relation (2) dans (14) il vient :

u_AB + RC du_AB / dt = 0
RC du_AB / dt + u_AB = 0

Soit, en posant t = RC :

t . duAB / dt + uAB = 0 (15)

C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, sans second membre.

b) (e) Vérifions que la solution de l'équation différentielle (15) t . du_AB / dt + u_AB = 0 est :

u_AB = Uo exp ( – t / t ) (16) avec, en dérivant par rapport à t :
du_AB / dt = - Uo ( 1 / t ) exp ( - t / t ) (16 bis)

On le vérifie aisément en portant les expressions (16) et (16 bis) dans (15).

D'après la relation u_AB = Uo exp ( – t / t ) (16), on voit que :

· Si t = 0 alors uAB = Uo = E = 100 V  (17) · Si t1 = RC = t alors uAB = Uo exp ( - 1) = 100 ´ exp ( - 1) = 36,8 V (18) · Si t2 = 5 t alors uAB = Uo exp ( - 5 ) = E ´ 0,0067 = 0,67 V (19) · Si t tend vers l'infini alors uAB tend vers 0  (20)

Remarque : Si un générateur applique au dipôle R, C une tension "créneaux" de demi période T / 2 supérieure à la constante de temps t = RC alors on observe une succession de charges et de décharges du condensateur.