Primitives d'une fonction.

Objectifs de ce chapitre

- connaître la définition du mot « primitive »
- connaître la relation qui existe entre deux primitives d'une même fonction
- savoir calculer une primitive à l'aide du tableau des primitives usuelles
- savoir trouver une primitive vérifiant une condition du type 
- savoir calculer une primitive en se ramenant à une forme du type , , etc.
- savoir calculer une primitive à l'aide d'une intégration par parties

Définition

Soit  une fonction définie sur .
On dit que  est une primitive de  sur l'intervalle , si et seulement si  est dérivable sur  et pour tout  de , .

Exemple

La fonction  est une primitive de la fonction  sur .
La fonction  est aussi une primitive de cette même fonction .

Propriété

Si  est une primitive de  sur , alors les autres primitives de  sur  sont les fonctions de la forme  où .

Remarque

Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de  maisune primitive de .

Exemple

Les primitives de la fonction  sont les fonctions  où .

Propriété

Toute fonction continue sur un intervalle  admet des primitives sur .

Propriétés

Primitives des fonctions usuelles :

Fonction	Primitives	Ensemble de validité

Propriétés

Si  et  sont deux fonctions définies sur  et admettant respectivement  et  comme primitives sur  et  un réel quelconque.

•  est une primitive de la fonction  sur .
•  est une primitive de la fonction  sur .

Propriétés

Primitives et fonctions composées

Soit  une fonction définie et dérivable sur un intervalle .

Fonction	Primitives	Condition
		si
		si
		si

Exemple

La fonction  admet comme primitives les fonctions de la forme  sur tout intervalle de  (forme ).