lundi 15 août 2011
Transformations du plan complexe
Transformations du plan complexe
Translations
t−→u désigne la translation de vecteur
−→u . Pour tous points M et M′
du plan, t−→u (M) = M′ ⇔
→−−−
MM′ =
−→u .
−→u est un vecteur d’affixe a. L’expression complexe de la translation de vecteur
−→u est
z
′ = z + a.
• t−→u est une isométrie du plan ou encore t−→u conserve les distances.
• t−→u conserve les angles orientés.
• t−→u conserve l’alignement.
• Images de figures :
– Soit (D) une droite passant par un point A. L’image de (D) par t−→u est la droite parallèle à (D) passant par t−→u (A).
– L’image du segment [AB] par t−→u est le segment [t−→u (A)t−→u (B)].
– L’image du cercle de centre I et de rayon R par t−→u est le cercle de centre t−→u (I) et de même rayon.
• t−→u conserve le parallélisme et l’orthogonalité.
• t−→u conserve les aires.
Homothéties
h désigne l’homothétie de centre Ω et de rapport k. Pour tous points M et M′
du plan, h(M) = M′ ⇔
→−−−
ΩM′ = k
→−−
ΩM.
Ω est un point d’affixe ω et k est un réel. L’expression complexe de l’homothétie de centre Ω et de rapport k est
z
′ = ω + k(z − ω).
• h multiplie les distances par |k| et les aires par k
2
.
• h conserve les angles orientés.
• h conserve l’alignement.
• Images de figures :
– Soit (D) une droite passant par un point A. L’image de (D) par h est la droite parallèle à (D) passant par h(A).
– L’image du segment [AB] par h est le segment [h(A)h(B)].
– L’image du cercle de centre I et de rayon R par h est le cercle de centre h(I) et de rayon |k|R.
• h conserve le parallélisme et l’orthogonalité.
Rotations
r désigne la rotation de centre Ω et d’angle θ. On a r(Ω) = Ω et pour tous points M et M′
du plan distincts de Ω,
r(M) = M′ ⇔ ΩM′ = ΩM et
→−−
ΩM,
→−−−
ΩM′
= θ (2π).
Ω est un point d’affixe ω et θ est un réel. L’expression complexe de la rotation de centre Ω et d’angle θ est
z
′ = ω + e
iθ
(z − ω).
r désigne la rotation de centre Ω et d’angle θ.
• r est une isométrie.
• r conserve les angles orientés.
• r conserve l’alignement.
• Images de figures :
– A et B sont deux points. L’image de (AB) par r est la droite (r(A)r(B)).
– L’image du segment [AB] par r est le segment [r(A)r(B)].
– L’image du cercle de centre I et de rayon R par r est le cercle de centre r(I) et de même rayon.
• r conserve les aires.
• r conserve le parallélisme et l’orthogonalité.
Les fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles
Définition et caractérisation de l’exponentielle de base a
Pour x réel et a réel strictement positif, a
x = e
x ln(a)
.
Pour a > 0, la fonction x 7→ a
x
s’appelle la fonction exponentielle de base a.
Pour a > 0 donné, la fonction x 7→ a
x
est l’unique fonction f, définie et dérivable sur R et vérifiant
f(1) = a et pour tous réels x et y, f(x + y) = f(x) × f(y).
Propriétés analytiques
a > 1 = a y
x
1
1
a
a = 1
1 y = 1
x
a < 1
1
1
a
y = a
x
Pour tout réel x et tout réel strictement positif a, a
x > 0.
Si a > 1 Si 0 < a < 1
lim
x→−∞
a
x
= 0 lim
x→−∞
a
x
∞+ =
lim
x→+∞
a
x
= +∞ lim
x→+∞
a
x
= 0
Théorèmes de croissances comparées
Pour tout réel a > 1 et tout entier naturel non nul n, lim
x→+∞
a
x
x
n
.∞+ =
Pour tout réel a > 1 et tout entier naturel non nul n, lim
x→−∞
x
n
a
x
= 0
Propriétés algébriques
a désigne un réel strictement positif. a et b désignent des réels strictement positifs.
a
0 = 1 et a
1 = a.
Pour tous réels x et y, a
x+y = a
x × a
y
Pour tout réel x, (ab)
x = a
x
b
x
.
Pour tout réel x, a
x
6= 0 et a
−x =
1
ax
Pour tout réel x, on a
a
b
x
=
a
x
bx
.
Pour tous réels x et y, a
x−y =
a
x
ay
.
Pour tout réel x et tout entier relatif n, (a
x
(
n = a
nx
.
Calculs d’intégrales. Primitives
Calculs d’intégrales. Primitives.
Primitives
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie
et dérivable sur I telle que F
′ = f.
Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale
Théorème fondamental
• Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I.
• Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme
x 7→ F(x) + C où C est une constante réelle.
• Si f est continue sur l’intervalle I alors, pour tout réel a de I, la fonction x 7→
Z
x
a
f(t) dt est une primitive de la
fonction f sur l’intervalle I. Ainsi, pour tout réel x de I,
Z
x
a
f(t) dt
′
= f(x).
Plus précisément,
la fonction x 7→
Z
x
a
f(t) dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a.
• Si f est continue sur l’intervalle, pour tous réel x0 de l’intervalle I et tout réel y0, il existe une primitive F de f sur I
et une seule telle que F(x0) = y0. La primitive de f qui prend la valeur y0 en x0 est la fonction
x 7→ y0 +
Z
x
x0
f(t) dt.
Expression d’une intégrale à l’aide d’une primitive
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit F une primitive de f sur I. Pour tous réels a et b de I,
b Z
a
f(x) dx = F(b) − F(a).
Notation. Le nombre F(b) − F(a) est noté [F(x)]
b
a
.
Formule d’intégration par parties
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. On suppose que les fonctions dérivées u
′
et v
′
sont continues sur l’intervalle I. Alors, pour tous réels a et b de I,
b Z
a
u
′
(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]
b
a −
b Z
a
u(x)v
′
(x) dx.
Remarque. Si f est une fonction continue sur I, les notions d’intégrale et de primitive sont directement liées par la
relation
b Z
a
f(x) dx = F(b) − F(a).
Mais il existe des fonctions dont on sait calculer l’intégrale et qui n’admettent pas de primitive. Les fonctions en escaliers
fournissent des exemples de fonctions dont on sait calculer l’intégrale sans pouvoir fournir de primitives.
Raisonnement par récurrence
Raisonnement par récurrence.
P(n) désigne une certaine propriété dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné.
On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0, la propriété P(n) est vraie.
Pour cela, on procède en deux étapes :
Etape 1. On vérifie que P(n0) est vraie,
Etape 2. On se donne un entier n ≥ n0 quelconque.
On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence)
et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est vraie.
Exemple 1. Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 6, 2
n ≥ 6n + 7.
Solution 1.
• Si n = 6, 2
n = 2
6 = 64 et 6n + 7 = 6 × 6 + 7 = 43. Comme 43 < 64, l’inégalité de l’énoncé est vraie quand n = 6.
• Soit n ≥ 6. Supposons que 2
n ≥ 6n + 7 et montrons que 2
n+1 ≥ 6(n + 1) + 7.
2
n+1
= 2.2
n
≥ 2(6n + 7) (par hypothèse de récurrence)
= 12n + 14 = 6(n + 1) + 7 + 6n + 1
≥ 6(n + 1) + 7.
On a montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 6, 2
n ≥ 6n + 7.
Exemple 2. Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 =
1
2
un + 2. Montrer par récurrence
que pour tout entier naturel n, un = 4 −
1
2
n−1
.
Solution 2.
• Si n = 0, 4 −
1
2
n−1
= 4 − 2 = 2 = u0. L’égalité de l’énoncé est vraie quand n = 0.
• Soit n ≥ 0. Supposons que un = 4 −
1
2
n−1
et montrons que un+1 = 4 −
1
2
(n+1)−1
.
un+1 =
1
2
un + 2
=
1
2
4 −
1
2
n−1
+ 2 (par hypothèse de récurrence)
= 2 −
1
2
1
2
n−1
+ 2 = 4 −
1
2
(n+1)−1
.
On a montré par récurrence que, pour tout entier naturel n, un = 4 −
1
2
n−1
.
Exemple 3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2
2n + 2 est un entier divisible par 3.
Solution 3.
• Si n = 0, 2
2n + 2 = 2
0 + 2 = 3 qui est bien divisible par 3. L’affirmation de l’énoncé est vraie quand n = 0.
• Soit n ≥ 0. Supposons que 2
2n + 2 est un entier divisible par 3, et montrons que 2
2(n+1) + 2 est un entier divisible par
3.
On a
2
2(n+1) + 2 = 2
2n+2 + 2 = 4.2
2n + 2 = 3.2
2n + 1.2
2n + 2 = 2
2n + 2 + 3.2
2n
.
Par hypothèse de récurrence, il existe un entier naturel k tel que 2
2n + 2 = 3.k. Mais alors,
2
2(n+1) + 2 = 2
2n + 2 + 3.2
2n = 3k + 3.2
2n = 3(2
2n + k).
Comme 2
2n + k est un entier, on en déduit que 2
2(n+1) + 2 est un entier divisible par 3.
On a montré par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2
2n + 2 est un entier divisible par 3.
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