DECROISSANCE RADIOACTIVE

DECROISSANCE RADIOACTIVE 

La radioactivité est l'exemple type du fait que certains phénomènes naturels intéressent plusieurs domaines de la science. Le physicien nucléaire s'intéresse à la modification spontanée de certains noyaux d'atomes. Le mathématicien trouve là l'occasion d'appliquer concrètement certaines théorèmes relatifs aux solutions d'équations différentielles ou aux calculs des probabilités. Le spécialiste des sciences de la Terre s'intéresse à la radioactivité pour la datation des roches ou des organismes fossiles. Le spécialiste des sciences de la vie s'intéresse aux conséquences biologiques positives ou négatives des rayonnements radioactifs.

1- LA COMPOSITION DU NOYAU

Dans les classes antérieures nous avons vu qu'un atome est constitué d'un noyau central et d'un nuage électronique.
1-1 Composition du noyau
·Par exemple, l'atome de chlore le plus abondant dans la nature possède un noyau central contenant Z = 17 protons positifs et N = 18 neutrons. Le nombre de nucléons est donc A = Z + N = 17 + 18 = 35. On symbolise ce noyau par .
·De façon générale le noyau d'un atome correspondant à un élément X constitué de A nucléons (Z protons et N neutrons) est noté .
La relation A = Z + N permet de calculer le nombre de neutrons présents dans le noyau.
·Le noyau contient des protons positifs qui se repoussent. En classe de première nous avons vu que la cohésion du noyau est assurée par l'interaction forte entre les nucléons.
Remarque : Z est également appelé le numéro atomique. C'est le numéro de la case du tableau périodique des éléments dans laquelle se trouve le chlore.
1-2 Le nuage électronique
Loin du noyau se trouve le cortège électronique. Un atome, étant électriquement neutre, possédera autant d'électrons négatifs dans le nuage électronique que de protons positifs dans le noyau. De façon élémentaire, on peut dire que les électrons se répartissent sur des couches K, L, M, N ... de plus en plus éloignée du noyau central.
Le diamètre d'un noyau est de l'ordre de 10 ^{- 15} m. Le diamètre d'un atome est de l'ordre de 10 ^{- 10} m. Remarquons que la définition du diamètre d'un atome est ambiguë. Il en existe plusieurs qui seront définis lors d'études ultérieures.
Règle de répartition des électrons sur les différentes couches K, L, M, N ...

La couche n (entier > 0) contient au maximum 2 ´ n² électrons.

La couche n	contient au maximum	2 n² électrons.
La couche n = 1 (K)	contient au maximum	2 ´ 1² = 2 électrons.
La couche n = 2 (L)	contient au maximum	2 ´ 2² = 8 électrons.
La couche n = 3 (M)	contient au maximum	2 ´ 3² = 18 électrons.
La couche n = 4 (N)	. . .	. . .

L'atome de chlore possédant 17 protons positifs p ⁺ dans le noyau aura donc 17 électrons négatifs e ^- répartis sur trois couches, loin du noyau :

(K)² (L)⁸ (M)⁷

1-3 Les isotopes
·A un même élément chimique peuvent correspondre plusieurs atomes différents. Ces atomes ont le même cortège électronique mais ils diffèrent par leur noyau.
Des noyaux isotopes possèdent le même nombre de protons Z, mais des nombres de neutrons N différents.
Exemple 1 : A l'état naturel, l'élément chlore se présentent sous la forme de deux isotopes :  et  .
Les atomes (également appelés atomes isotopes) correspondants à ces deux noyaux isotopes possèdent le même cortège électronique et ont donc des propriétés chimiques identiques. Leurs propriétés physique, par exemple leur masse, sont évidemment différentes.
On peut écrire pour ces 2 isotopes :  K² L⁸ M⁷ et  K² L⁸ M⁷ . La partie noire décrit le noyau et la partie rouge décrit le cortège d'électrons.
D'autres isotopes du chlore se rencontrent en physique nucléaire, tous obéissent à la représentation  K² L⁸ M⁷
Remarque : L'ion chlorure Cl ^- constituant avec l'ion Na ⁺ le sel de cuisine est présent sous les 2 formes :

K² L⁸ M⁷⁺¹ et  K² L⁸ M⁷⁺¹

Exemple 2 : Les trois isotopes les plus connus de l'élément carbone sont : ,  et .
On peut écrire :  K² L⁴ K² L⁴ K² L⁴
·Aux 92 éléments qui existent sur Terre à l'état naturel correspondent 350 noyaux différents (290 sont stables, 60 sont radioactifs).
·Aux 112 éléments que l'on connaît dans les laboratoires de physique nucléaire correspondent plus de 3000 noyaux différents.

2- RADIOACTIVITE a, b ^-, b ⁺. Emission g

Becquerel (1850 - 1908) découvre en 1896 que certains sels d'uranium émettent des "rayonnements" pouvant traverser la matière et pouvant impressionner des plaques photos placées dans l'obscurité.
Progressivement, on a pu déterminer la nature de ces rayonnements.
2-1 Les quatre principaux types de rayonnement radioactif

 

·Les particules alpha ( a ^{+ +} ) sont des noyaux d'hélium positifs, notés . Ces particules, formés de deux protons et de deux neutrons, sont déviées légèrement par un champ magnétique ou électrique, car leur masse est importante. Leur pouvoir de pénétration est faible. Quelques centimètres d'air ou une mince feuille de papier d'aluminium suffisent à les arrêter.
·Les particules bêta moins ( b ^- ) sont des électrons, notés . Leur faible masse fait en sorte que ces particules sont facilement déviées par un champ électrique ou magnétique, dans le sens opposé de la déviation des particules alpha. Leur grande vitesse leur procure un pouvoir de pénétration supérieur à celui des particules alpha. Il faut plusieurs mètres d'air ou quelques centimètres d'aluminium pour les arrêter.
·Les particules ß⁺ sont des positons, encore appelés antiélectrons (antiparticules des électrons), notés. Ces positons ont la même masse que les électrons mais une charge électrique opposée. Leur pouvoir de pénétration propre est très faible car ils s'annihilent lorsqu'ils rencontrent un électron en donnant naissance à un rayonnement g.
L'émission de particules ß⁺ est exceptionnelle. Elle ne concerne que quelques noyaux artificiels.
·Les émissions de particules a ^{+ +} , b ^- et ß⁺ modifient la composition du noyau.
·Les rayons gamma g sont des rayonnements électromagnétiques de grande énergie et de faible longueur d'onde. Ces rayons gamma, contrairement aux particules alpha et bêta, ne changent pas la composition du noyau qui les émet. Leur pouvoir de pénétration est très élevé : ils peuvent s'enfoncer dans plus de trente centimètres de plomb. Ces rayons g sont très dangereux pour l'homme.
Tableau récapitulatif
On rappelle que la charge élémentaire est e = 1,600217733 ´ 10 ^{- 19} C (1).
En physique nucléaire, on utilise souvent l'unité de masse atomique 1 u = 1,6605402 ´ 10 ^{- 27} kg (2).

Emission	Nature	Symbole	Masse approchée (u)	Charge (e)
Particule a	noyau d'hélium ++		4,00150 u	+ 2 e
Particule b -	électron		0,000549 u	- e
Particule ß+	positon		0,000549 u	+ e
Rayon gamma	rayonnement électromagnétique	g	0	0

Remarque : A coté de ces quatre types de rayonnements au programme il existe d'autres transformations spontanées d'un noyau. Citons la capture électronique ou l'émission d'un ou deux protons (émissions récemment mises en évidence avec certains noyaux artificiels).
2-2 Quelques propriétés des rayonnements radioactifs
·Les rayonnements radioactifs peuvent arracher des électrons à la couche périphérique des édifices atomiques de la matière qu'ils traversent. Cela peut provoquer l'ionisation des molécules du milieu cellulaire ou la rupture des liaisons moléculaires. Tous les constituants de la cellule peuvent être touchés mais c'est une action sur la molécule d'ADN qui risque d'avoir le plus de conséquences.
·Les êtres humains sont sans arrêt soumis à des rayonnements d'origine naturelle ou d'origine artificielle, c'est-à-dire dus aux activités de l'homme. Il faut s'efforcer de diminuer l'exposition aux rayonnements, mais il est impossible de la réduire à zéro.
·La radioactivité est invisible, inodore, inaudible. Elle est indécelable par nos sens. L'homme a du mettre au point divers dispositifs pour détecter cette radioactivité. Le plus ancien de ces dispositifs, utilisé par Becquerel, est une plaque photographique. Parmi les autres dispositifs, on peut citer les électroscopes, les chambres d'ionisation, le compteur de Geiger-Muller, la chambre à brouillard, les chambres à bulles, les chambres électroniques, les scintillateurs, les semi-conducteurs, etc.
2-3 Noyaux stables. Noyaux instables
·Un noyau stable garde indéfiniment la même structure. C'est le cas, par exemple, d'un des isotopes du carbone, l'isotope .
·Un noyau radioactif est instable. A une date inconnue, il se désintègre spontanément en un autre noyau, en émettant des particules a ou b et, souvent, un rayonnement g. C'est le cas, par exemple, d'un autre isotope du carbone, l'isotope  qui est radioactif. Il émet une particule b ^- et se transforme en un noyau d'azote  :

+ (3)

Le noyau qui se désintègre, , est le noyau père. Le noyau obtenu, , est le noyau fils.
·On peut situer les noyaux stables et instables sur les diagramme (N, Z) ci-dessous.
2-4 Diagramme (N, Z). Domaines de stabilité et d'instabilité des noyaux
Il est intéressant de représenter les noyaux atomiques dans le plan (N,Z).
Dans un premier temps limitons-nous à Z < 11.

 

Le diagramme complet de tous les nucléides peut être consulté dans le lexique.
Noyaux stables
Sur ce diagramme, les noyaux stables sont situés dans une zone, colorée en noir, nommée vallée de stabilité.
Pour Z < 20, les noyaux stables sont situés au voisinage de la droite Z = N.
Pour Z > 20, les noyaux stables sont situés au dessus de cette droite Z = N. Ils contiennent plus de neutrons que de protons.
La vallée de stabilité ne se poursuit pas au delà du bismuth  (voir le diagramme complet), puisqu'au delà de ce noyau on ne trouve aucun nucléide stable.
Noyaux instables
Les noyaux sont instables quand ils contiennent trop de protons ou trop de neutrons. Ces noyaux radioactifs, qui ne sont pas situés dans la zone de stabilité, tendent à retrouver une configuration stable en expulsant une particule, à une date aléatoire.
Plusieurs lois gouvernent ces réactions nucléaires spontanées. Nous en retiendrons deux :
Loi de conservation de la charge électrique : la somme des nombres de charges de la particule émise et du noyau fils est égale au nombre de charge Z du noyau père.
Loi de conservation du nombre de nucléons : la somme des nombres de nucléons de la particule émise et du noyau fils est égale au nombre de nucléons A du noyau père.
Radioactivité b ^- : Le noyau père , situé au-dessous de la zone de stabilité, possède trop de neutrons par rapport au nombre de protons. Il se transmute en transformant un neutron en proton, avec émission d'un électron . Le noyau fils  se rapproche de la vallée de stabilité. L'équation de cette réaction nucléaire spontanée s'écrit :

+  (4) Le noyau ne contenant que des protons et des neutrons, l'émission d'un électron  doit être précédée de la transformation suivante : +  (5)

Exemple :

+ . On vérifie la conservation du nombre de charge Z (14 = 14 + 0) et du nombre de nucléons A (6 = 7 - 1).

Radioactivité ß ⁺ : Le noyau père , situé au-dessus de la zone de stabilité, possède trop de protons par rapport au nombre de neutrons. Il se transmute en transformant un proton en neutron, avec émission d'un positon . Le noyau fils  se rapproche de la vallée de stabilité.

+  (6) Le noyau ne contenant que des protons et des neutrons, l'émission d'un positon  doit être précédée de la transformation suivante : +  (7)

Exemple :

+ . On vérifie la conservation du nombre de charge Z (30 = 30 + 0et du nombre de nucléons A (15 = 14 + 1).

Radioactivité a. : Ce type de désintégration concerne les noyaux qui sont "trop" lourds (A > 180 nucléons), vers la fin du tableau de Mendeleïev. Le noyau père  émet  un noyau d'hélium . Le noyau fils  se rapproche de la vallée de stabilité.

+  (8)

Exemple :

+ .

On vérifie la conservation du nombre de charge Z (92 = 90 + 2) et du nombre de nucléons A (238 = 234 + 4).
Désexcitation g : Le noyau fils engendré par radioactivité a , b ^-, ß⁺ se trouve le plus souvent dans un état excité, noté . Il se désexcite en donnant un noyau stable  et un rayon g.

+ g (9)

Exemple : La production du noyau fils excité  est suivie de l'émission du rayonnement gamma, avec désexcitation du noyau fils :

+ 
+ g

Remarque : Le nombre de noyaux (stables ou radioactifs) naturellement présents sur Terre est voisin de 350. Ce nombre est porté à plus de 3000 (voir le diagramme complet) en comptant les noyaux artificiels préparés au laboratoire.
2-4 Exercice

Enoncé Combien d'isotopes de l'oxygène figurent sur le diagramme ci-dessus ? Quels sont les isotopes stables ? Quels sont les isotopes radioactifs ?

Solution :
Sur le diagramme ci-dessus figurent 17 isotopes de l'oxygène :

· 3 isotopes sont stables : , , .
· 3 isotopes sont émetteurs ß⁺ : , , .
· 6 isotopes sont émetteurs b ^- : , O (20), O (21), O (22), O (23), O (24).
· 5 isotopes, , d'une part et , O (26), O (27), O (28) , d'autre part, émettent d'autres particules.

3- LOI DE DECROISSANCE RADIOACTIVE

3-1 Expériences préliminaires
Trois séances de travaux pratiques ont permis de réfléchir à l'évolution dans le temps d'un échantillon de matière radioactive.
·La première séquence a permis de mener en parallèle une série de comptages des désintégrations au sein d'un même échantillon de césium 137 et une analyse semblable portant sur des jets de dés. La demi-vie de 30 ans (voir plus loin) permet de considérer que toutes les mesures faites dans une séance de travaux pratiques ont été faites à la même date. Chaque mesure dure Dt = 50 s. Les fluctuations sur le nombre des désintégrations dépassent largement les incertitudes de mesures. Comme de nombreuses mesures ont été faites on a pu construire un diagramme en fréquence et caractériser le résultat par sa moyenne et son écart type. On a obtenu une distribution de Poisson.
On a alors envisagé comme hypothèse que la désintégration radioactive est un phénomène aléatoire :

· on ignore quand un noyau va se désintégrer.
· on ne peut attribuer à chaque noyau qu'une probabilité de se désintégrer dans la durée d'un comptage.

·La deuxième séquence a permis de s'interroger sur l'évolution d'une population (par exemple des arbres) qui ne se renouvelle pas en fonction du temps avec les hypothèses suivantes ?

a) Les arbres ne se renouvellent pas. Ils meurent à des âges variables (certains peuvent vivre très longtemps). Une épidémie mortelle survient entre les dates t₁ et t₂. Certains survivent.
b) Les arbres ne se renouvellent pas et sont coupés lorsqu'ils atteignent l'âge de 10 ans.
c) Un démon malveillant se trouve dans un forêt comportant No = 500 arbres. Il décide de la mort des arbres en jouant aux dés. A intervalles de temps réguliers et rapprochés, il jette un nombre de dés égal au nombre d'arbres survivants. Il coupe alors autant d'arbres que ce qu'il y a de dès affichant le nombre 6.

Dans cette dernière hypothèse (c) on a trouvé une décroissance exponentielle du nombre d'arbres.
·La troisième séquence a permis d'étudier l'évolution d'une population de noyaux radioactifs (radon 220 de demi vie 55 s) et de comparer à l'un des modèles d'évolution de la population d'arbres. Le modèle satisfaisant est celui de "mort aléatoire sans vieillissement" correspondant à une décroissance exponentielle (modèle c).
3-2 Loi de décroissance
Nous venons de dire que l'expérience montrait que le nombre N de noyaux non désintégrés à l'instant t est lié au nombre de noyaux No initialement présents à l'instant to = 0 s par une relation exponentielle :

N = No e - l . t = No e - t / t (10)

l est la constante radioactive (en s ^{- 1}). Elle caractérise un radionucléide.

t = 1 / l est la constante de temps (en s ) (11)

La loi de décroissance des noyaux radioactifs a été établie expérimentalement en 1902 par Rutherford et Soddy.
Remarque :
La désintégration radioactive est un phénomène aléatoire. On ne peut pas, à l'échelle "microscopique", dire quand un noyau va se désintégrer. Néanmoins, à l'échelle macroscopique, on a pu établir cette loi d'évolution. N n'est pas connu exactement mais l'incertitude sur sa valeur est tout à fait raisonnable.
3-3 Activité d'un échantillon
L'activité d'un échantillon radioactif est égale au nombre de désintégrations qu'il subit par seconde :

A = - dN / dt (12) (N diminue, dN / dt est négatif, A est positif)

Par dérivation de (10) N = No e ^{- l . t}, on obtient :

A = - dN / dt = l No . e - ^{l . t} = l N (13)

A l'instant t = 0, l'activité initiale de l'échantillon est Ao = l No (14).
Reportons cette valeur l No = Ao (14) dans l'expression qui précède A = l No . e - ^{l . t} (13) :

A = - dN / dt = Ao . e - l . t (15) avec Ao = l No (16)

· A se mesure en becquerel (Bq).
·1 Bq correspond à une désintégration par seconde.

3-4 Demi-vie t _1/2
Le temps de demi-vie t _1/2 d'un nucléide radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre initial de noyaux radioactifs est divisé par deux.

N (t _1/2) = No / 2 (17)

Portons dans N = No e ^{- l . t}  (10) :

No / 2 = No e ^{- l . t 1/ 2} soit :
e ^{- l . t 1/ 2} = 1 / 2 ou encore en prenant le logarithme népérien des deux cotés :
ln ( e ^{- l . t 1/ 2} ) = ln ( 1 / 2 )
  - l . t _{1/ 2} = 0 - ln 2
t _{1/ 2} = ( ln 2 ) / l

t 1/ 2 = ( ln 2 ) / l(18)  l . t 1/ 2 = ln 2 (18 bis)

La demi-vie d'un radionucléide est une caractéristique de celui-ci et sa valeur est extrêmement variable :

·Pour le polonium 212, la demi-vie est t _{1/ 2} = 3 ´ 10 ^{- 6} seconde
·Pour le thorium 232, la demi-vie est t _{1/ 2} = 1,4 ´ 10¹⁰ ans

Remarque 1 : comme t = 1 / l (11), on peut aussi écrire :

t 1/ 2 = ln 2 . t (19)

Remarque 2 : L'activité A = - dN / dt = Ao . e - ^{l . t} = l N (12) s'écrit à la date t _{1/ 2} :

A (t _{1/ 2}) = l N (t _1/2) = l No / 2
A (t _{1/ 2}) = Ao / 2 (20)

Au bout d'un temps égal à la demi-vie, l'activité d'un radionucléide est divisée par deux.