ONDES PROGRESSIVES MECANIQUES PERIODIQUES

ONDES PROGRESSIVES MECANIQUES PERIODIQUES

Dans cette leçon qui comporte cinq paragraphes nous allons étudier les ondes mécaniques périodiques. Nous allons voir qu'elles présentent une double périodicité : périodicité temporelle, d'une part, périodicité spatiale, d'autre part. Nous étudierons ensuite leur comportement lorsqu'elles rencontrent un obstacle ou une ouverture (phénomène de diffraction). Nous verrons que, dans certains milieux, leur célérité dépend de leur période (phénomène de dispersion).

1- PHENOMENES VIBRATOIRES PERIODIQUES

- Un solide (S), de masse m, fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur K, de masse négligeable, à spires non jointives, est un exemple d'oscillateur mécanique. Ecarté de sa position d'équilibre, il effectue des oscillations périodiques non amorties si les frottements sont négligeables. On montrera, plus loin dans le programme, que la période est  (1) .

 - De façon générale un phénomène est périodique lorsqu'il se reproduit identique à lui-même au bout d'un intervalle de temps T, appelé période. La période T s'exprime en seconde.

- La fréquence f d'un phénomène périodique est égale au nombre de périodes par seconde. On l'exprime en hertz (Hz). On a :

f = 1 / T (2)

 

2- EXEMPLE D'ONDE PROGRESSIVE PERIODIQUE

 

Onde progressive périodique à la surface de l'eau

- Dans la leçon précédente, nous avons vu qu'une onde mécanique transversale se propage sur l'eau lorsqu'on laisse tomber une goutte d'eau en un point O de la surface. Les rides circulaires ne perturbent que temporairement cette surface. Très vite, celle-ci redevient immobile.

- Si, au lieu de laisser tomber une goutte d'eau, on frappe régulièrement (période temporelle T) la surface de l'eau avec la pointe d'un générateur d'ondes alors on provoque une onde progressive périodique transversale (la fréquence f = 1 / T est réglable et peut être lue sur le générateur d'onde). Chaque point de la surface de l'eau oscille suivant la verticale avec la même période temporelle T que celle du générateur d'ondes.

- Définition : On dit qu'une onde progressive est périodique si, une photographie du milieu de propagation, prise à un instant quelconque, montre une périodicité spatiale de l'onde.

3- ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE

 

3-1 Mouvement sinusoïdal de la source

- A l'instant 0, un vibreur commence à fonctionner, entraînant dans son mouvement l'origine S d'une corde tendue horizontalement (on élimine l'onde réfléchie à l'extrémité de la corde). Dans le repère , le mouvement de S est sinusoïdal. L'équation de son mouvement suivant l'axe vertical  s'écrit :

y_S = Y_m sin (  ) (3)

Y_m est l'amplitude du mouvement.

T est la période temporelle (le mouvement de S se reproduit identique à lui-même au bout d'un intervalle de temps T).

3-2 Graphe des temps de la source S.

La représentation graphique associée à y_S = Y_m sin (  ) (3) est le graphe des temps de la source S :

Sur ce graphe des temps de la source apparaît bien la période temporelle T.

3-3 - Graphe des temps d'un point P1 de la corde.

La vitesse de propagation de l'onde sur la corde est V.

Pour atteindre le point P₁ de la corde le front de l'onde met un temps t₁ = 0P₁ / V. On peut dire que le point P₁ reproduit le mouvement sinusoïdal de la source avec un retard t₁ = OP₁ / V.

Sur ce graphe des temps du point P1 apparaît également la période temporelle T.

3-4 Graphe des espaces de la corde à la date t.

Reproduisons quelques "photos" de la corde à différentes dates. Le phénomène doit être de préférence enregistré en vidéo et étudié en projetant au ralenti ou en arrêt sur image.

Sur le dernier graphe des espaces (à la date t) apparaît nettement la périodicité spatiale de l'onde se propageant sur la corde. Cette période spatiale de l'onde est appelée lalongueur l d'onde.

3-5 Relation entre la période spatiale l et la période temporelle T.

Les photos prises aux dates T / 4, T / 2 et T montrent clairement que la longueur d'onde est égale à la distance parcourue par l'onde, à la vitesse V, en une période T :

l = V . T (4)

Dans le système international d'unités, l s'exprime en m, V en m / s et T en seconde.

Remarque : Comme f = 1 / T (2), la relation (4) peut aussi s'écrire :

l = V . T = V / f (5)

3-6 Propriétés de la longueur d'onde

Remarque: Deux points distants de l / 2 ont constamment des élongations "y" de signe opposé. On dit que deux points distants de l / 2 vibrent en opposition de phase.

4- DIFFRACTION D'UNE ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE

Le générateur d'ondes de la cuve à ondes peut indifféremment créer une onde périodique circulaire ou, au moyen d'une règle solidaire du vibreur, créer une onde périodique plane se propageant à la surface de l'eau

Examinons ce qui se passe lorsqu'une onde (plane ou circulaire) rencontre une petite digue possédant une ouverture représentée sur le schéma ci-dessous.

L'expérience montre qu'après la digue l'onde incidente est perturbée. Elle est diffractée. Deux cas sont possibles :

- Si la largeur L de l'ouverture est grande devant la longueur d'onde l alors l'onde incidente est peu perturbée, sauf près des bords. L'ouverture agit comme un diaphragme.

- Si la largeur L de l'ouverture est inférieure ou égale à la longueur d'onde l alors l'onde est très perturbée. L'ouverture se comporte comme une nouvelle source d'onde quasi circulaire.

L'onde diffractée et l'onde incidente ont la même période, la même célérité et, par conséquent, la même longueur d'onde.

Remarque : La diffraction des ondes sonores est un phénomène très courant. Si une porte est ouverte, on peut entendre chanter une personne qui se promène dans le couloir même si cette personne n'est pas visible. En effet, la largeur de l'ouverture est de l'ordre des longueurs d'onde des notes chantées (l est voisin du mètre).

Un obstacle peut également diffracter une onde. C'est le cas notamment d'un rocher qui émerge sur les flots. Ce rocher diffracte les vagues.

- L'étude théorique de la diffraction d'une onde par un obstacle ou une ouverture est hors programme.

- Nous retiendrons seulement que le phénomène de diffraction caractérise tous les types d'ondes lorsque celles-ci rencontrent un obstacle ou une ouverture. Pour une longueur d'onde donnée, ce phénomène de diffraction est d'autant plus marqué que la dimension de l'obstacle ou de l'ouverture est plus petite. Cependant la diffraction n'affecte ni la fréquence, ni la célérité, ni la longueur d'onde.

5- DISPERSION DES ONDES MECANIQUES SE PROPAGEANT DANS CERTAINS MILIEUX.

Un milieu matériel dans lequel se propage une onde mécanique est dispersif si la vitesse de propagation de l'onde dépend de sa fréquence.

- Exemple de milieu dispersif :

Sur la cuve à onde on engendre, au moyen d'une règle solidaire du vibreur, des ondes planes se propageant à la surface de l'eau. La fréquence f est réglable et peut être lue sur le générateur d'onde. Une webcam permet d'observer, en arrêt sur image, les rides obtenues à un instant t.

Pour différentes fréquences f, on mesure la longueur d'onde l puis on calcule v = l . f.

On s'aperçoit que v dépend de f. Le milieu est dispersif.

La célérité d'une onde progressive périodique plane à la surface de l'eau dépend de la fréquence de l'onde (égale à la fréquence de vibrations de la source).

- Exemple de milieu non dispersif :

Pour les ondes sonores de fréquences audibles (20 Hz < f < 20000 Hz) l'air est un milieu non dispersif. Toutes les ondes sonores audibles se déplacent à la même vitesse (cela est heureux pour les auditeurs se trouvant au fond d'une salle de concert).

Remarque : Pour des ondes sonores audibles de très grande amplitude l'air devient dispersif : le roulement du tonnerre s'explique par le fait que les ondes sonores de basses fréquences sont plus lentes que les autres.

De même pour des ondes ultra sonores de très grandes fréquences (f > 10⁹ Hz) l'air devient dispersif.

- Nous verrons que le phénomène de dispersion de la lumière joue un très grand rôle en optique. Mais les ondes optiques ne sont pas des ondes mécaniques, ce sont des ondesélectromagnétiques qui se propagent même dans le vide. C'est d'ailleurs dans le vide qu'elles se propagent le mieux et le plus rapidement.